1.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}的前n项和为T n且(λ为常数).令c n=b2n(n∈N*)求数列{c n}的前n项和R n.【解答】解:(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由a2n=2a n+1,取n=1,得a2=2a1+1,即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2,得,即d=2a1②联立①、②得a1=1,d=2.所以a n=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;(2)把a n=2n﹣1代入,得,则.所以b1=T1=λ﹣1,当n≥2时,=.所以,.R n=c1+c2+…+c n=③④③﹣④得:=所以;所以数列{c n}的前n项和.2.等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.【解答】解:(Ⅰ)设公差为d,则,解得,所以a n=3+(n﹣1)=n+2;(Ⅱ)b n=2+n=2n+n,所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+…+(210+10)=(2+22+...+210)+(1+2+ (10)=+=2101.3.已知数列{log2(a n﹣1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)证明++…+<1.【解答】(I)解:设等差数列{log2(a n﹣1)}的公差为d.由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,即d=1.所以log2(a n﹣1)=1+(n﹣1)×1=n,即a n=2n+1.(II)证明:因为==,所以++…+=+++…+==1﹣<1,即得证.4.已知{a n}是正数组成的数列,a1=1,且点(,a n+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若列数{b n}满足b1=1,b n+1=b n+2an,求证:b n•b n+2<b n+12.【解答】解:解法一:(Ⅰ)由已知得a n+1=a n+1、即a n+1﹣a n=1,又a1=1,所以数列{a n}是以1为首项,公差为1的等差数列.故a n=1+(n﹣1)×1=n.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:a n=n从而b n+1﹣b n=2n.b n=(b n﹣b n﹣1)+(b n﹣1﹣b n﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=∵b n•b n+2﹣b n+12=(2n﹣1)(2n+2﹣1)﹣(2n+1﹣1)2=(22n+2﹣2n﹣2n+2+1)﹣(22n+2﹣2•2n+1+1)=﹣2n<0∴b n•b n+2<b n+12解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)∵b2=1b n•b n+2﹣b n+12=(b n+1﹣2n)(b n+1+2n+1)﹣b n+12=2n+1•bn+1﹣2n•bn+1﹣2n•2n+1=2n(b n+1﹣2n+1)=2n(b n+2n﹣2n+1)=2n(b n﹣2n)=…=2n(b1﹣2)=﹣2n<0∴b n•b n+2<b n+125.已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d.∵a4﹣a3=2,所以d=2∵a1+a2=10,所以2a1+d=10∴a1=4,∴a n=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)(II)设等比数列{b n}的公比为q,∵b2=a3=8,b3=a7=16,∴∴q=2,b1=4∴=128,而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等6.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d.由已知得即解得.故a n=2n﹣1,S n=n2(2)由(1)知.要使b1,b2,b m成等差数列,必须2b2=b1+b m,即,(8分).移项得:=﹣=,整理得,因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;当t=5时,m=4.故存在正整数t,使得b1,b2,b m成等差数列.7.设{a n}是等差数列,b n=()an.已知b1+b2+b3=,b1b2b3=.求等差数列的通项a n.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n﹣1)d.∴b1b3=•==b22.由b1b2b3=,得b23=,解得b2=.代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2,b3=或b1=,b3=2∴a1=﹣1,d=2或a1=3,d=﹣2.所以,当a1=﹣1,d=2时a n=a1+(n﹣1)d=2n﹣3.当a1=3,d=﹣2时a n=a1+(n﹣1)d=5﹣2n.8.已知等差数列{a n}的公差大于0,且a3,a5是方程x2﹣14x+45=0的两根,数列{b n}的前n项的和为S n,且S n=1﹣(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=a n b n,求证c n+1≤c n.【解答】解:(1)∵a3,a5是方程x2﹣14x+45=0的两根,且数列{a n}的公差d>0,∴a3=5,a5=9,公差∴a n=a5+(n﹣5)d=2n﹣1.又当n=1时,有b1=S1=1﹣当∴数列{b n}是等比数列,∴(2)由(Ⅰ)知,∴∴c n+1≤c n.9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S5=35,a5和a7的等差中项为13.(Ⅰ)求a n及S n;(Ⅱ)令(n∈N﹡),求数列{b n}的前n项和T n.【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,因为S5=5a3=35,a5+a7=26,所以,…(2分)解得a1=3,d=2,…(4分)所以a n=3+2(n﹣1)=2n+1;S n=3n+×2=n2+2n.…(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1,所以b n==…(8分)=,…(10分)所以T n=.…(12分)10.已知等差数列{a n}是递增数列,且满足a4•a7=15,a3+a8=8.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=(n≥2),b1=,求数列{b n}的前n项和S n.【解答】解:(1)根据题意:a3+a8=8=a4+a7,a4•a7=15,知:a4,a7是方程x2﹣8x+15=0的两根,且a4<a7解得a4=3,a7=5,设数列{a n}的公差为d由.故等差数列{a n}的通项公式为:(2)=又∴=11.设f(x)=x3,等差数列{a n}中a3=7,a1+a2+a3=12,记S n=,令b n=a n S n,数列的前n项和为T n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式和S n;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)是否存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,T m,T n成等比数列?若存在,求出m,n的值,若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d,由a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12.解得a1=1,d=3∴a n=3n﹣2∵f(x)=x3∴S n==a n+1=3n+1.(Ⅱ)b n=a n S n=(3n﹣2)(3n+1)∴∴(Ⅲ)由(2)知,∴,∵T1,T m,T n成等比数列.∴即当m=1时,7=,n=1,不合题意;当m=2时,=,n=16,符合题意;当m=3时,=,n无正整数解;当m=4时,=,n无正整数解;当m=5时,=,n无正整数解;当m=6时,=,n无正整数解;当m≥7时,m2﹣6m﹣1=(m﹣3)2﹣10>0,则,而,所以,此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,T m,T n成等比数列.综上,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得T1,T m,T n成等比数列.12.已知等差数列{a n}的前n项和为S n=pn2﹣2n+q(p,q∈R),n∈N+.(Ⅰ)求的q值;(Ⅱ)若a1与a5的等差中项为18,b n满足a n=2log2b n,求数列{b n}的前n和T n.【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=p﹣2+q当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p(n﹣1)2+2(n﹣1)﹣q=2pn﹣p﹣2∵{a n}是等差数列,a1符合n≥2时,a n的形式,∴p﹣2+q=2p﹣p﹣2,∴q=0(Ⅱ)∵,由题意得a3=18又a3=6p﹣p﹣2,∴6p﹣p﹣2=18,解得p=4∴a n=8n﹣6由a n=2log2b n,得b n=24n﹣3.∴,即{b n}是首项为2,公比为16的等比数列∴数列{b n}的前n项和.13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足:a2+a4=14,S7=70.(Ⅰ)求数列a n的通项公式;(Ⅱ)设b n=,数列b n的最小项是第几项,并求出该项的值.【解答】解:(I)设公差为d,则有…(2分)解得以a n=3n﹣2.…(4分)(II)…(6分)所以=﹣1…(10分)当且仅当,即n=4时取等号,故数列{b n}的最小项是第4项,该项的值为23.…(12分)14.己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0(n∈N*),且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)若b n=a n a n,S n=b1+b2+…+b n,求S n+n•2n+1>50成立的正整数n的最小值.【解答】解:(Ⅰ)∵a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0,∴(a n+1+a n)(a n+1﹣2a n)=0,∵数列{a n}的各项均为正数,∴a n+1+a n>0,∴a n+1﹣2a n=0,即a n+1=2a n,所以数列{a n}是以2为公比的等比数列.∵a3+2是a2,a4的等差中项,∴a2+a4=2a3+4,∴2a1+8a1=8a1+4,∴a1=2,∴数列{a n}的通项公式a n=2n.(Ⅱ)由(Ⅰ)及b n=得,b n=﹣n•2n,∵S n=b1+b2++b n,∴S n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①∴2S n=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣(n﹣1)•2n﹣n•2n+1②①﹣②得,S n=2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1=,要使S n+n•2n+1>50成立,只需2n+1﹣2>50成立,即2n+1>52,∴使S n+n•2n+1>50成立的正整数n的最小值为5.15.设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=2S n+1,数列{b n}满足a1=b1,点P(b n,b n+1)在直线x﹣y+2=0上,n∈N*.(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)设,求数列{c n}的前n项和T n.【解答】解:(Ⅰ)由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1(n≥2),两式相减得a n+1﹣a n=2a n,a n+1=3a n(n≥2).又a2=2S1+1=3,所以a2=3a1.故{a n}是首项为1,公比为3的等比数列.所以a n=3n﹣1.由点P(b n,b n+1)在直线x﹣y+2=0上,所以b n+1﹣b n=2.则数列{b n}是首项为1,公差为2的等差数列.则b n=1+(n﹣1)•2=2n﹣1(Ⅱ)因为,所以.则,两式相减得:.所以=.。