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§3.4 圆轴扭转时的应力
四、扭转失效与扭转极限应力
1. 塑性材料的扭转失效
断口材料呈片状，剪 切破坏
断口横截面，最大切 应力引起剪切破坏
横截面上的最大切应 力即扭转屈服应力为扭转 极限应力。
低碳钢抗剪能力 比抗拉能力差
§3.4 圆轴扭转时的应力 2. 脆性材料的扭转失效
断口45o的螺旋面，最大 拉应力引起的脆性断裂
dx
§3.4 圆轴扭转时的应力
3. 静力关系
T A dA
A
G
d
dx
dA
T
G d 2dA
dx A
令 IP
2dA
A
d T
dx GIP
抗扭刚度：截面抵抗 扭转变形的能力
§3.4 圆轴扭转时的应力
4. 扭转切应力的一般公式
d T
dx GIP
G
d
dx
二、最大扭转切应力
max
T max
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
微元体无轴向、横向正应变，存在垂直于半径方向 的切应变，圆周上所有的剪切变形相同。
圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径 方向上有相同的切应力。
§3.3 纯剪切
圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径 方向上有相同的切应力。
Me
Me
由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布
Me
2 0
R02d
2 R02
Me
2 R02
§3.3 纯剪切
二、切应力互等定理
1. 纯剪切 微元体的四个侧面上只存在切应力无正应力。
Mz(F) 0 :
( dy)dx ( dx)dy
2. 切应力互等定理 在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线 的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。
§3.3 纯剪切
第三章 扭转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.7 非圆截面杆扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例 汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例 汽车方向盘
§3.1 扭转的概念和实例
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
W
Me
2
n 60
P
P
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 2.扭矩和扭矩图
用截面 扭矩和扭矩图 扭矩正负规定
三、切应变 剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力 与切应变成正比。
G
剪切弹性模量
弹性模量、剪切弹性模量、 泊松比之间的关系
G E
2(1 )
τ
§3.4 圆轴扭转时的应力 一、圆轴扭转时的应力
1. 变形几何关系
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各 纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行 四边形。
B
C
D MA A
T3
A
318N.m
795N.m
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
观察到：
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变 ；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形 变为平行四边形。
§3.3 纯剪切
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变； 各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为 平行四边形。
IP
Wt
IP
max
T
IP
max
T Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
三、极惯性矩与抗扭截面系数
1. 实心圆截面
IP
2dA
A
d 2
2
(2d
)
d
4
0
32
d3
Wt 16
2. 空心圆截面
D
IP
2dA
A
2 d
2 (2 d
)
2
(D4 d 4 ) D4(1 4 )
32
32
Wt
D3 (1 4 )
§3.4 圆轴扭转时的应力
·平面假设
圆轴扭转变形前原为平面的横 截面，变形后仍为平面，形状、 大小不变，半径仍为直线，两相 邻截面间的距离不变。
·切应变在横截面上的分布
tan
dd ad
d
dx
d
dx
§3.4 圆轴扭转时的应力
2. 物理关系
d
dx
G
G
d
dx
d 未知，与内力、材料、截面有关
解： ⑴ 计算实心轴直径
max
T Wt
T
d 3 / 16
3
16T
3
16 1.5 103
d 50106 53.5mm
§3.4 圆轴扭转时的应力
强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt
max
Tmax Wt
（2）设计截面
Wt
Tmax
（3）确定载荷
Tmax Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.2
某传动轴，轴内的最大扭矩T = 1.5kN·m ，若许用切应力 [τ] = 50PMa。试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并 比较其重量。⑴实心圆截面。⑵空心圆截面，其内外径的 比值di /d0 = 0.9。
的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB
MC
MD
MA
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1
传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,
三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW,PD=20kW.试绘轴
断口材料呈颗粒状，脆 性断裂破坏
铸铁抗拉能力比 抗剪能力差
横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极 限应力。
§3.4 圆轴扭转时的应力
五、圆轴扭转的强度条件
max
T ( Wt
)max
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
T ( Wt
)max
§3.4 圆轴扭转时的应力