2020年广东省中考数学压轴题:动点问题
例1:如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k ≠0)与直线y =x +2都经过点A (2, m ).
(1)求k 与m 的值;
(2)此双曲线又经过点B (n , 2),过点B 的直线BC 与直线y =x +2平行交y 轴于点C ,联结AB 、AC ,求△ABC 的面积;
(3)在(2)的条件下,设直线y =x +2与y 轴交于点D ,在射线CB 上有一点E ,如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似,且相似比不为1,求点E 的坐标.
图1
满分解答
(1)将点A (2, m )代入y =x +2,得m =4.所以点A 的坐标为(2, 4).
将点A (2, 4)代入k y x
=
,得k =8. (2)将点B (n , 2),代入8y x =,得n =4. 所以点B 的坐标为(4, 2).
设直线BC 为y =x +b ,代入点B (4, 2),得b =-2.
所以点C 的坐标为(0,-2).
由A (2, 4) 、B (4, 2) 、C (0,-2),可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2,B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4.
所以AB
=BC
=ABC =90°.
所以S △ABC =12BA BC ⋅
=12
⨯8. (3)由A (2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,-2),得AD
=AC
=
由于∠DAC +∠ACD =45°,∠ACE +∠ACD =45°,所以∠DAC =∠ACE . 所以△ACE 与△ACD 相似,分两种情况:
①如图3,当CE AD CA AC
=时,CE =AD
= 此时△ACD ≌△CAE ,相似比为1.
图2
②如图4,当CE AC
CA AD ==CE =C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10,所以E (10, 8).
图3
图4。