第七章 平面向量7.1 向量的基本概念及表示现实生活中，有些量在有了测定单位之后只需用一个实数就可以表示，例如温度，时间，面积，这些只需用一个实数就可以表示的量叫作标量．还有些量不能只用一个实数表示，例如位移，力，速度等既有大小又有方向的量，这些既有大小又有方向的量叫作向量．向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小．数学中常用平面内带有箭头的线段来表示平面向量．以线段的长来表示向量的大小：以箭头所指的方向（即从始点到终点的方向）来表示向量的方向．一般地，以点P 为始点，点Q 为终点的向量记作PQ．为书写简便，在不强调向量的起点与终点时，向量也可以用一个小写的字母并在上面画一个小箭头来表示，如a ．PQ 的大小叫作PQ 的模，记作PQ，类似地，a 的模记作a ． 1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0 ；0的方向是任意的．2．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．3．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．5．负向量：与a 的模相等，方向相反的向量叫作a 的负向量，记作a - ．我们规定：0的相反向量仍是零向量．易知对任意向量a 有()a a --=．向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在一条直线上；而有向线段共线则线段必须在同一条直线上．规定。

与任一向量平行．图7-1图7-1三个向量a 、b 、c 所在的直线平行，易知这三个向量平行，记作a b c∥∥，我们也可以称这三个向量共线．例l ．如图7-2所示，128A A A 、是O 上的八个等分点，则在以128A A A 、及圆O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少??A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1图7-2解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是()128i OA i = 、共8个；另一类是()128iAO i =、也有8个．两类合计16个．（2）以128A A A 、为顶点的O 的内接正方形有两个，一个是正方形1257A A A A ；另一个是正方形2468A A A A ．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的√2倍的向量共有42216⨯⨯＝个．注意：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与()128iAO i = 、两类．一般地我们易想到()128i OA i = 、这8个，而易遗漏()128iAO i = 、这8个． （213A A 对应向量13A A 与31A A，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算．认为满足条件的向量个数为8是错误的． 例2．在平面中下列各种情形中，将各向量的终点的集会分别构成什么图形? （1）把所有单位向量的起点平移到同一点O ．（2）把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的p 点． （3）把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 的点p ． 解：（1）以点O 为圆心，l 为半径的圆．（2）直线l 上与点p 的距离为1个长度单位的两个点．（3）直线l ．例3．判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量AP 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ④向量a 与向量b 平行，则a 与b的方向相同或相反； ⑤四边形ABCD 是平行四边形的宽要条件是AB DC =． 解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；③不正确．AB 与CD共线，可以有AB 与CD 平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．1．下列各量中是向量的有__________． （A ）动能 （B ）重量 （C ）质量 （D ）长度 （F ）作用力与反作用力 （F ）温度2．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． 3．回答下列问题，并说明理由． （1）平行向量的方向一定相同吗? （2）共线向量一定相等吗?（3）相等向量一定共线吗?不相等的向量一定不共线吗?4．命题“a b ∥，b c ∥，则a b∥（ ） A ．总成立B ．当0a ≠时成立 C ．当0b ≠时成立D ．当0c ≠时成立5．已知正六边形ABCDEF （见图7-3），在下列表达式中：①BC CD EC ++ ；②2BC DC +；③FE ED + ；④2ED FA - ；与AC相等的有__________．FC图737.2向量的加减法两个向量可以求和．一般地，对于两个互不平行的向量a 、b ，以A 为共同起点平移向量，有AB a =，AD b = ，则以AB 、AD 为邻边的平行四边形ABCD 的对角线AC c = 叫作a 和b这两个向量的和，即a b c +=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．上述求两个向量的和的方法称为向量加法的平行四边形法则，见图7-4．平行四边形法则B图74又AD BC = A B B C A C∴+= 由此发现，当第二个向量的始点与第一个向量的终点重合时．这两个向量的和向量即为第一个向量的始点指向第二个向量终点的向量．此法则称为向量加法的三角形法则，地图7-5．三角形法则图75特殊地．求两个平行向量的和，也可以用三角形法则进行（如图7-6）：（b ）（a ）a BA图76显然，对于任何a ，有0a a += ；()0a a +-= ．对于零向量与任一向量a ，有00a a a +=+=．向量的加法具有与实数加法类似的运算性质，向量加法满足交换律与结合律：交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++与实数的减法相类似，我们把向量的减法定义为向量加法的逆运算．若向量a 与b 的和为向量c ，则向量b 叫做向量c 与a 的差，记作b c a =-．求向量差的运算叫做向量的减法．由向量加法的三角形法则以及向量减法的定义．我们可得向量减法的三角形法则，其作法：在平面内取一点O ，作OA a = ，OB b = ，则BA a b =- ，即a b - 声可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．注意差向量的“箭头”指向被减向量，见图7-7．CB 图77此外，我们可以先做向量b 的负向量OB b =- ′，可根据向量加法的平行四边形法则得()OC a b =+-．易知向量OC BA = ，因此，()a b a b +-=-．例1．如图7-8所示，已知向量a ，b ，c ，试求作和向量a b c ++．图78分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任意两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个新向量与另一个向量的和．即可先作a b + ，再作()a b c ++．解：如图7-9所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA a = ，再作向量AB b = ，则得向量OB a b =+，然后作向量BC c = ，则向量OC a b c =++即为所求．O图79例2．化简下列各式（1）AB CA BC ++ ； （2）OE OF OD DO -+-- ．解：（1）原式()0AB BC CA AB BC CA AC CA AC AC =++=++=+=-=（2）原式()()0OE OF OD DO EO OF EF =+-+=+-=例3．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．已知：如图7-10，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于0，且AO OC =，DO OB =．ODCBA图710求证：四边形ABCD 足平行四边形．证明：由已知得AO OC = ，BO OD =，AD AO OD OC BO BO OC BC =+=+=+=，且A D B C ，，，不在同一直线上，故四边形ABCD 是平行四边形．例4．已知平面上有不共线的四点O A B C ，，，．若320OA OB OC -+=，试求AB BC 的值．解：因为23OA OC OB += ，所以()2OB OA OC OB -=-．于是有2AB BC =-．因此2AB BC= ．基础练习1．若对n 个向量12n a a a，，，存在n 个不全为零的实数12n k k k ，，，，使得11220n n k a k a k a +++= 成立，则称向量12n a a a ，，，为“线性相关”，依此规定，能说明()110a =，，()211a =- ，，()322a =，“线性相关”的实数123k k k ，，依次可以取____________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．2．已知矩形ABCD 中，宽为2，长为，AB a = ，BC b = ，AC c = ，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小．3．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量．已知OP a = ，OR ra kb =+．若PQR △为等边三角形，则k ，r 的取值为（ ）A．k r == B．k r == C．k r ==D．k r ==4．若A B C D 、、、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）①AC BD BC AD +=+ ②AC BD DC AB -=+ ③AB AC DB DC --=④AB BC AD DC +-=A ．1B ．2C ．3D ．45．设a 表示“向东走10km ”，b 表示“5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”．说明下列向量的意义．（1）a b + ；（2）b d + ；（3）d a d ++ ． 6．在图7-11的正六边形ABCDEF 中，AB a = ，AF b = ，求AC ，AD ，AE ．FC图7117.3 实数与向量的乘法如图7-12，已知非零向量a ，可以作出a a a ++ 和()()()a a a -+-+-．PQ MNaa a图712aOC OA AB BC a a a =++=++ ，简记3OC a = ；同理有()()()3PN PQ QM MN a a a a =++=-+-+-=- ．观察得：3a 与a 方向相反相反且33a a -= ．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ．a λ的模与方向规定如下： （1）a a λλ=；（2）a λ 的方向定义为：0λ>时a λ 与a i 方向相同；0λ<时a λ 与ai 方向相反； 0λ=或0a = 时规定：0a λ=．以上规定的实数与向量求积的运算叫作实数与向量的乘法（简称向量的数乘）．向量数乘的几何意义就是：把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小，a λ 与a 是互相平行的向量．对于任意的非零向量a，与它同方向的单位向量叫做向量a 的单位向量，记作0a ．易知01a a a=．向量共线定理：如果有一个实数λ，使()0b a a λ=≠ ，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与()a b ≠是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．通过作图，可以验证向量数乘满足以下运算定律：当m 、n ∈R 时，有1．第一分配律()m n a ma na +=+．2．第二分配律()m a b ma mb +=+．3．结合律()()m na mn a =．例1．计算：（1）()()63292a b a b -+-+；（2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()()64222a b c a b c a c -+--+--+．解：（1）原式18121893a b a b b =---+=-． （2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17732367a b a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 77106262b a a b =+--=． （3）原式66648442a b c a b c a c =-+-+-+-()()()64468642a a a b b c c c =-++-++--62a b =+ ．例2．已知O 为原点，A ，B ，C 为平面内三点，求证A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是OC OA OB αβ=+，且αβ∈R ，，1αβ+=．分析：证明三点共线可从三点构成的其中两个向量存在数乘关系．证明必要条件也是从向量共线时向量的数乘关系入手．证明：必要性．设A B C ，，三点共线，则AC 与AB 共线．于是存在实数λ，使AC AB λ=．而AC OC OA =- ，AB OB OA =- ，()OC OA OB OA λ∴-=-．()1OC OB OA λλ∴=+- ．令λβ=，1λα-=，有()11αβλλ+=-+=，OC OA OB αβ∴=+，且1αβ+=． 充分性． 若OC OA OB αβ=+，且1αβ+=，则()1OC OA OB ββ=-+ ，()OC OA OB OA β=+- ，()OC OA OB OC β-=-，AC AB β∴= ，β∈R ．AC ∴ 与AB 共线，而A 为AC 与AB的公共端点， A B C ∴，，三点在一条直线上．在证明必要性时，A B C ，，三点共线还可用AB kBC = ，AC kBC =表示．本题的结论还可有更一般的形式：A B C 、、三点在一条直线上的充要条件是存在实数h ，k ，l ，使0hOA kOB lOC ++=，且1h k l ++=，l k h ，，中至少有一个不为0．例3．如图7-13，设O 为ABC △内一点，PQ BC ∥，且PQt BC=，，OB b = ，OC c = ，试求OP ，OQ ． 解：由平面几何知，APQ ABC ⨯△∽△，且对应边之比为t ，图713故AP AQ PQt AB AC BC===， 又A P B 、、与A Q C 、、分别共线，即知 AP t AB = ，AQ t AC = ． ()()OP OA AP OA t AB OA t OB OA a t b a ∴=+=+=+-=+-，即()1OP t a tb =-+ ，()()OQ OA AQ OA t AC OA t OC OA a t c a =+=+=+-=+- ，即()1OQ t a c =-+ ．例4．设两非零向量1e 和2e不共线，（1）如果12AB e e =+ ，1228BC e e =+ ，()123CD e e =-，求证A B D ，，三点共线．（2）试确定实数k ，使12ke ke +共线．（1）证明12AB e e =+ ，()121212283355BD BC CD e e e e e e AB =+=++-=+=，AB BD ∴，共线，又有公共点B A B D∴，，三点共线． （2）解12ke e + 与12e ke + 共线，∴存在λ使()1212ke e e ke λ+=+，则()()121k e k e λλ-=-，由于1e 与2e 不共线， 只能有010k k λλ-=⎧⎨-=⎩则1k =±．例5．在ABC △中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB AF AC ，，于点D ，G ，E （见图7-14）．如果AD AB λ= ，AE AC μ= ，λ，μ∈R ．证明：G 为ABC △重心的充分必要条件是113λμ+=．l GF E DCB A图714解：若G 为ABC △重心，则()221332AG AF AB AC ==⋅+= 13AD AE λμ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又因点D G E ，，共线，所以，()113AD AE AG t AD t AE λμ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 因AD ，AE 不共线，所以，13t λ=且113t μ=-，两式相加即得113λμ+=． 反之，若113λμ+=，则()2xAG xAF AB AC ==+ ()12x AD AE t AD t AE λμ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以，2x t λ=且12x t μ=-，相加即得23x =，即G 为ABC △重心． 基础练习1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b共线的条件是（ ） ①234a b e -= 且23a b e +=- ；②存在相异实数λ、u ，使0a ub λ+=；③0xa yb +=（其中实数x y 、满足0x y +=）； ④已知梯形ABCD 中，其中AB a = 、CD b = ．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④2．判断下列命题的真假：（1）若AB 与CD是共线向量，则A B C D ，，，四点共线． （2）若AB BC CA ++=0，则A B C ，，三点共线．（3）λ∈R ，则a a λ>．（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示．3．已知在ABC △中，D 是BC 上的一点，且BDDCλ=，试求证：1AB AC AD λλ+=+ ． 4．已知3AD AB = ，3DE BC = ．试判断AC 与AE是否共线．5．已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+ ，4BC a b =-- ，53CD a b =--，求证：四边形ABCD 是梯形．6．已知()2cos A αα，()2cos B ββ，()10C -，是平面上三个不同的点，且满足关系式CA BC λ=，求实数λ的取值范围．7．已知梯形ABCD 中，2AB DC =，M N ，分别是DC AB 、的中点，若1AB e = ，2AD e = ，用1e ，2e表示DC BC MN 、、．8．四边形ABCD 是一个梯形，AB CD ∥且2AB CD =，M N 、分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，AD b = ，试用a ，b 表示BC 和MN ．9．已知a b 、是不共线的非零向量，11c a b λμ=+ ，22d a b λμ=+，其中1122λμλμ、、、为常数，若c d ma nb +=+，求m n 、的值．10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，OM ma = ，ON nb = ，OP a b αβ=+，其中m n αβ、、、均为实数，0m ≠，0n ≠，若M P N 、、三点共线，求证：1mnαβ+=．11．在ABC △中，BE 是CD 交点为P ．设AB a = ，AC b = ，AP c = ，AD a λ=，（01λ<<），()01AE b μμ=<<，试用向量a ，b 表示c ． 12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量()12OA = ，，()21OB =-，若OP xOA yOB =+ 且12x y ≤≤≤，则求出点P 所有可能的位置所构成的区域面积．7.4 向量的数量积数量积定义：一般地．如果两个非零向量a 与b 的夹角为α．我们把数量cos a b α⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a b ⋅ ，即：cos a b a b α⋅=⋅，其中记法“a b ⋅ ”中间的“⋅”不可以省略，也不可以用“×”代替．特别地，a b ⋅ 可记作2a ．规定：0与任何向量的数量积为0．非零向量夹角的范围：0≤口≤Ⅱ．投影的定义：如果两个非零向量a 与b 的夹角为α，则数量cos b θ称为向量b 在a 方向上的投影．注意：投影是一个数量．数量积的几何意义：如图7-15，我们把cos b α<叫做向量b 在a 方向上的投影，即有向线段1OB 的数量．图715当π02α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模1OB ； 当ππ2α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模－1OB ； 当π2α=时，1OB 的数量等于零． 当然，cos a α即为a 在b 方向上的投影． 综上，数量积的几何意义：a b ⋅ 等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在a 的方向上的投影cos b α的乘积．向量的数量积的运算律： ①a b b a ⋅=⋅②()()()a b b a b λλλ⋅⋅=⋅（λ为实数）③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅鉴于篇幅这里仅证明性质②：证明：（1）若0λ>，()cos a b a b λλθ⋅= ，()cos a b a b λλθ⋅= ，()cos a b a b λλθ⋅=，（2）若0λ<，()()()cos πcos cos a b a b a b a b λλθλθλθ⋅=-=--= ，()cos a b a b a b λλλθ⋅=⋅= ，()()()cos πcos a b a b a b λλθλθ⋅=-=--= cos a b λθ．（3）若0λ=，则()()()0a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅=．综合（1）、（2）、（3），即有()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．例1．已知4a = ，5b =，当（1）a b ∥，（2）a b ⊥ ，（3）a 与b 的夹角为30︒时，分别求a 与b 的数量积．解：（1）a b ∥，若a 与b 同向，则0θ=︒，cos04520a b a b ∴⋅=⋅︒=⨯=； 若a 与b 反向，则180θ=︒，()cos18045120a b a b ∴⋅=⋅︒⨯⨯⨯-=-． （2）当a b ⊥ 时，90θ=︒，cos900a b a b ∴⋅=⋅︒=．（3）当a 与b 的夹角为30︒时，cos3045a b a b ⋅=⋅︒=⨯= 例2．空间四点A B C D 、、、满足3AB = ，7BC = ，11CD = ，9DA =，则AC BD ⋅ 的取值有多少个？解：注意到2222311113079+==+，由于0AB BC CD DA +++=，则()()2222222DA DA AB BC CDAB BC CD AB BC BC CD CD AB ==++=+++⋅+⋅+⋅()()2222AB BC CD AB BC BC CD =-+++⋅+，即222220AC BD AD BC AB CD ⋅=+--= ，AC BD ∴⋅只有一个值0．例3．已知a b 、都是非零向量，且3a b + 与75a b - 垂直，4a b - 与72a b - 垂直，求a b、的夹角． 解：由()()223750716150a b a b a a b b +⋅-=⇒+⋅-= ①()()22472073080a b a b a a b b -⋅-=⇒-⋅+=②两式相减：22a b b ⋅= 代入①或②得：22a b = ． 不妨设a b 、的夹角为θ，则221cos 22a b b a b bθ⋅=== ，又因为0πθ≤≤，60θ∴=︒．例4．在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：2222224AB BC CD DA AC BD PQ +++=++ ．证明：联结BQ ，QD ，因为BP PQ BQ += ，DP PQ DQ +=， 所以()()2222BQ DQ BP PQ DP PQ +=+++222222BP DP PQ BP PQ DP PQ =+++⋅+⋅ ()22222BP DP PQ BP DP PQ =++++⋅2222BP DP PQ =++ ①又因为BQ QC BC += ，BQ QA BA +=，0QA QC += ，同理222222BA BC QA QC BQ +=++ ② 222222CD DA QA QC QD +=++ ③由①、②、③可得()()2222222224222BA BC CD QA BQ QD AC BP PQ ++=++=++=2224AC BD PQ ++．得证．例5．平面四边形ABCD 中，AB a = ，BC b = ，CD c = ，DA d = ，且a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅，判断四边形ABCD 的形状．证明：由四边形ABCD 可知，0a b c d +++=（首尾相接）()a b c d ∴+=-+，即()()22a bc d +=+ 展开得222222a a b b c c d d +⋅+=+⋅+a b c d ⋅=⋅，222a b c d ∴+=+ ① 同理可得2222a dbc +=+ ② ①-②得2222b a ac =⇒= ，b d ∴= ，ac =，即AB CD =，BC DA =，故四边形ABCD 是平行四边形．由此a c =- ，b d =-．又a b b c ⋅=⋅ ，即()0b a c -= ()20b a ∴⋅=即a b AB BC ⊥⇒⊥ ，故四边形ABCD 是矩形．例6．已知非零向量a 和b 夹角为60︒，且()()375a b a b +⊥- ，求证：()()472a b a b -⊥-．证明：因为a 和b 夹角为60︒，所以1cos602a b a b a b ⋅=⋅⋅︒=⋅；又因为()()375a b a b +⊥- ，所以，即()()3750a b a b +⋅-=．22222217161571615781502a ab b a a b b a a b b +⋅-=+⨯⋅-=+⋅-=．()()7150a b a b ∴+⋅-= ，0a b ∴-= ，即a b =．因为()()22222214727308730871582a b a b a a b b a a b b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+=-+，把a b = 代入上式消去b得()()2247271580a b a b a a a a -⋅-=-+= ．所以()()472a b a b -⊥- ．基础练习1．已知a b c 、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ）①a b a b a b ⋅=⋅⇔ ∥； ②a b 、反向a b a b ⇔⋅=-⋅；③a b a b a b ⊥⇔+=- ； ④a b a c b c =⇔⋅=⋅ ．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量i j，为相互垂直的单位向量，28a b i j +=- ，816a b i j -=-+ ，求a b ⋅ ．3．如图7-16所示，已知平行四边形ABCD ，AB a = ，AD b = ，4a = ，2b =，求：OA OB ⋅ ．C图7164．设6a = ，10b =，a b -=a 和b 的夹角θ的余弦值． 5．已知a b ⊥ ，2a = ，3b = ，当()()32a b a b λ-⊥+时，求实数λ的值．6．已知不共线向量a ，b ，3a = ，2b =，且向量a b + 与2a b - 垂直．求：a 与b 的夹角θ的余弦值． 7．已知3a = ，4b =，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb + 与a kb - 互相垂直？ 8．在ABC △中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=-，求AB ．9．在ABC △中，AB a = ，BC b = ，且0a b ⋅>，则ABC △的形状是__________．10．已知向量()24a = ，，()11b = ，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是__________．11．如图7-17，在四边形ABCD 中，4A B B D D C++=，0AB BD BD DC ⋅=⋅= ，4AB BD BD DC ⋅+⋅= ，求()AB DC AC +⋅的值．图717D CBA能力提高12．如图7-18，在Rt ABC △中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点．问PQ 与BC的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值．PQ图71813．已知ABC △中满足()2ABAB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，a b c 、、分别是ABC △的三边．试判断ABC △的形状并求sin sin A B +的取值范围．14．设边长为1的正ABC △的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为121n P P P - ，，，，若1121n n S AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅++⋅ ，求证：21126n n S n-=． 15．在ABC △中，AB a = ，BC c = ，CA b = ，又()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=∶∶∶∶，则ABC △三边长之比a b c =∶∶__________．16．在向量a b c ，，之间，该等式()()())012a b c a b b c c a ⎧++=⎪⎨⋅⋅⋅=⎪⎩∶∶成立，当1a = 时，求b 和c 的值．17．若a b c ，，中每两个向量的夹角均为60︒，且4a = ，6b = ，2c = ，求a b c ++的值． 7.5 向量的坐标表示及其运算 向量的坐标表示在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数()x y ，来表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示?前面的平面向量分解告诉我们，只要选定一组基底，就有唯一确定的有序实数对与之一一对应．我们分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j作为基底，由平面向量的基本定理．对于任一向量a ，存在唯一确定的实数对()x y ，使得()a xi y j x y =+∈R ，，我们称实数对()x y ，叫向量a 的坐标，记作()a x y =，．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标,y 叫向量a 在y 轴上的坐标，见图7-19．图719注意：（1）与a相等的向量的坐标也是()x y ，．（2）所有相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等的向量． 平面向量的坐标运算（1）设()11a x y = ，，()22b x y = ，，则()1212a b x x y y +=++，．（2）设()11a x y = ，，()22b x y = ，，则()1212a b x x y y -=--，． （3）设()11A x y ，，()22B x y ，，则()2121AB OB OA x x y y =-=--，． （4）设()11a x y = ，，λ∈R ，则()a x y λλλ=，．（5）设()11a x y = ，，()22b x y = ，，则()1212a b x x y y ⋅=+． 向量平行的坐标表示设()11a x y = ，，()22b x y = ，，且0b ≠ ，则()1212a b x x y y =+∥． 向量的平行与垂直的充要条件设()11a x y = ，，()22b x y =，，且0b ≠ ，0a ≠ 则12210a b b a x y x y λ⇔=⇔-=∥． 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=． 重要的公式（1）长度公式：a =()()11a x y = ，（2）夹角公式：()())1122cos a x y b x y θ===，，，．（3）平面两点间的距离公式：()())1122A B d AB A x y B x y == ，，，，． （4）不等式：cos a b a b a b θ⋅= ≥． 例1．已知()12a a a = ，，()12b b b =，，且12210a b a b -≠，求证： （1）对平面内任一向量()12c c c ，，都可以表示为()xa yb x y +∈R，的形式；（2）若0xa yb +=，则0x y ==．证明：（1）设c xa yb =+，即()()()()1212121122c c x a a y b b a x b y a x b y =+=++，，，，， 111222.a x b y c a x b y c +=⎧∴⎨+=⎩，12210a b a b -≠ ，∴上述关于x y ，的方程组有唯一解． 1221122112211221.c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，1221122112211221c b c b a c a c c a b a b a b a b a b --∴=+-- ． （2）由（1）的结论，0c =，即120c c ==，则 122112210c b c b x a b a b -==-，122112210a c a c y a b a b -==-，0x y ∴==．小结：证明（1）的过程就是求实数x ，y 的过程，而12210a b a b -≠是上面二元一次方程组有唯一解的不可缺少的条件．另外，本题实际上是用向量的坐标形式表述平面向量基本定理．其中1x λ=，2y λ=，这里给出了一个具体的求12λλ，的计算方法．例2．向量()10OA = ，，()11OB = ，，O 为坐标原点，动点()P x y ，满足0102OP OA OP OB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩≤≤≤≤，求点()Q x y y +，构成图形的面积．解：由题意得点()P x y ，满足0102x x y ⎧⎨+⎩≤≤≤≤，令x y uy v +=⎧⎨=⎩，则点()Q u v ，满足0102u v u -⎧⎨⎩≤≤≤≤，在uOv 平面内画出点()Q u v ，构成图形如图7-20所示，∴其面积等于122⨯=．图720例3．在直角坐标系中，已知两点()11A x y ，，()22B x y ，；1x ，2x 是一元二次方程222240x ax a -+-=两个不等实根，且A B 、两点都在直线y x a =-+上．（1）求OA OB ⋅ ；（2）a 为何值时OA 与OB 夹角为π3．解：（1）12x x 、是方程222240x ax a -+-=两个不等实根，()224840a a ∴∆=-->解之a -<()212142x x a =-，12x x a += 又 A B 、两点都在直线y x a =-+上， ()()()()2212121212142y y x a x a x x a x x a a ∴=-+-+=-++=- 121224OA OB x x y y a ∴⋅=+=-（2）由题意设1x =，2x =112y x a x ∴=-+==，同理21y x =()22212121224OA OB x x x x x x ∴=+=+-=当OA 与OB 夹角为π3时，π1cos 4232OA OB OA OB ⋅==⨯=242a ∴-=解之(a =- a ∴=即为所求．例4．已知()10a = ，，()21b =，．①求3a b + ；②当k 为何实数时，ka b - 与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？解：①()()()31032173a b +=+=，，，，3a b ∴+= ②()()()102121ka b k k -=-=--，，，．设()3ka b a b λ-=+，即()()2173k λ--=，，，12731313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩．故13k =-时，它们反向平行．例5．对于向量的集合(){}221A v x y x y ==+ ，≤中的任意两个向量12v v 、与两个非负实数αβ、；求证：向量12v v αβ+的大小不超过αβ+．证明：设()111v x y = ，，()222v x y = ，，根据已知条件有：22111x y +≤，22221x y +≤，又因为12v v αβ+=其中12121x x y y +所以12v v αβαβαβ+=+=+．基础练习1．已知()21a = ，，()34b =-，，求a b + ，a b - ，34a b + 的坐标．2．设O 点在ABC △内部，且有230OA OB OC ++=，求ABC △的面积与AOC △的面积的比．3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A B C ，，的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D 的坐标．4．已知向量i ，j 为相互垂直的单位向量，设()12a m i j =+- ，()1b i m j =+- ，()()a b a b +⊥-，求m 的值．5．已知等腰梯形ABCD ，其中AB CD ∥，且2DC AB =，三个顶点()12A ，，()21B ，，()42C ，，求D 点的坐标．6．如图7-21所示，已知()20OA =，，(1OB = ，将BA 绕着B 点逆时针方向旋转60︒，且模伸长到BA 模的2倍，得到向量BC ．求四边形AOBC 的面积S ．图7217．如图7-22所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥，2BC AD =，其中()12A ，，()31B ，，()24D ，，求C 点坐标及AC的坐标．图7228．已知向量()2334a x x x =+-- ，与AB 相等，其中()12A ，，()32B ，，求x ．9．平面内有三个已知点()12A -，，()70B ，，()56C -，，求（1）AB ，AC ；（2）AB AC + ，AB AC - ；（3）122AB AC + ，3AB AC - ．10．已知向量()12a = ，，()1b x =，，2u a b =+ ，2v a b =- ，且u v ∥，求x ．11．已知()23a = ，，()14b =- ，，()56c = ，，求()a b c ⋅ ，和()a b c ⋅⋅ ． 12．已知两个非零向量a 和b 满足()28a b +=- ，，()64a b -=--，，求a 与b 的夹角的余弦值．能力提高13．已知平面上三个向量a ，b ，c 均为单位向量，且两两的夹角均为120︒，若()1ka b c k ++>∈R，求k 的取值范围．14．已知OA ，OB 不共线，点C 分AB 所成的比为2，OC OA OB λμ=+ ，求λμ-． 7.6 线段的定比分点公式与向量的应用线段的定比分点公式设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数()1λλ≠-，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，P 点叫做有向线段12PP的以定比为λ的定比分点． 当P 点在线段12P P 上时0λ⇔≥；当P 点在线段12P P 的延长线上时1λ⇔<-； 当P 点在线段21P P 的延长线上时10λ⇔-<<；设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，是线段12P P 的分点，λ是实数且12PP PP λ=，则121211x x x OP y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⇔=⎨+⎪=⎪+⎩()12121111OP OP OP tOP t OP t λλλ+⎛⎫⇔=+-= ⎪++⎝⎭ ．()1λ≠-由线段的定比分点公式得：中点坐标公式设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，为12PP的中点，（当1λ=时） 得121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩三角形的重心坐标公式ABC △三个顶点的坐标分别为()11A x y ，、()22B x y ，、()33C x y ，，则ABC △的重心的坐标是12312233x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 利用向量可以解决许多与长度、距离及夹角有关的问题．向量兼具几何特性和代数特性，成为沟通代数、三角与几何的重要工具，同时在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用． 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC △所在平面上一点，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 则（1）O 为ABC △的外心222OA OB OC ⇔== ． （2）O 为ABC △的重心0OA OB OC ⇔++= ．（3）O 为ABC △的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅． （4）O 为ABC △的内心0aOA bOB cOC ⇔++=．（5）O 为ABC △的A ∠的旁心()aOA b OB cOC ⇔=+．例1．如图7-23所示，已知矩形ABCD 中，()21A ，，()54B ，，()36C ，，E 点是CD 边的中点，联结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．图723解： 四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点， ABF CEF ∴△∽△，且2AB CE =2AF CF ∴=即点F 分AC 所成的比2λ=．设()F x y ，．由(21)A ，，(36)C ，，根据定比分点坐标公式得 2238123x +⨯==+，12613123y +⨯==+ F ∴点坐标是81333⎛⎫⎪⎝⎭，． 例2．证明：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．证明：在单位圆O 上任取两点A ，B ，以Ox 为始边，以OA ，OB 为终边的角分别为β，α，见图7-24．β，sin β）B （cos α图724则A 点坐标为()cos sin ββ，，B 点坐标为()cos sin αα，； 则向量()cos sin OA ββ= ，，()cos sin OB αα= ，，它们的夹角为αβ-，1OA OB ==，cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+ ，由向量夹角公式得：()cos cos cos sin sin OA OBOA OB αβαβαβ⋅-==+ ，从而得证．注意：用同样的方法可证明()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．例3．证明柯西不等式()()()2222211221212x y x y x x y y +⋅++≥．证明：令()11a x y = ，，()22b x y =，（1）当0a = 或0b = 时，12120a b x x y y ⋅=+=，结论显然成立；（2）当当0a ≠ 且0b ≠ 时，令θ为a ，b的夹角，则[]0πθ∈，1212cos a b x x y y a b θ⋅=+=．又cos 1θ ≤，a b a b∴⋅≤（当且仅当a b ∥时等号成立）．1212x x y y ∴+ ()()()2222211221212x y x y x x y y ∴+⋅++≥（当且仅当1212x x y y =时等号成立）． 例4．给定ABC △，求证：G 是ABC △重心的充要条件是0GA GB GC ++=．证明：必要性 设各边中点分别为D E ，，F ，延长AD 至P ，使DP GD =，则2AG GD = GP =．又因为BC 与GP 互相平分，所以BPCG 为平行四边形，所以BG PC ∥，所以GB CP =． 所以0GA GB GC GC CP PG ++=++=．充分性 若0GA GB GC ++= ，延长AG 交BC 于D ，使GP AG =，联结CP ，则GA PG =． 因为0GC PG PC ++= ，则GB PC = ，所以GB CP ∥，所以AG 平分BC ．同理BG 平分CA ．所以G 为重心．例5 ABC △外心为O ，垂心为H ，重心为G ．求证：O G H ，，为共线，且12OG GH =∶∶． 证明：首先()()2112333OG OA AG OA AM OA AB AC OA AO OB OC =+=+=++=+++=()13OA OB OC ++． 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则联结CE 后得CE BC ⊥． 又AH BC ⊥，所以AH CE ∥．又EA AB ⊥，CH AB ⊥，所以AHCE 为平行四边形．所以AH EC =．所以OH OA AH OA EC OA EO OC OA OB OC =+=+=++=++ ， 即3OH OG = ，所以OG 与OH共线，所以O G H ，，共线． 即12OG GH =∶∶． 注意：O G H ，，所在的直线称为欧拉线．例6．已知ABC △，AD 为中线，求证()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（中线长公式）． 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图7-25所示的直角坐标系，图725设()A a b ，，()0C c ，，02c D ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()22222024c c AD a b ac a b ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，()()22222222221122244BC c c AB AC a b c a b a b ac ⎛⎫⎡⎤⎪+-=++-+-=+-+⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 从而()2222122BC AD AB AC ⎛⎫ ⎪=+- ⎪⎝⎭，()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 例7．是否存在4个两两不共线的平面向量，其中任两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？解：如图7-26所示，在正ABC △中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA ，PB ，PC ，PO两两不共线，有POA图726()()PA PB PC PO +⋅+= ()()PO OA PO OB PO OC PO +++⋅++()()22PO OA OB PO OC =++⋅+()()22PO OC PO OC =-⋅+2240PO OC =-=有()PA PB + 与()PC PO +垂直．同理可证其他情况．从而PA ，PB ，PC ，PO满足题意、故存在这样四个平面向量．例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++= ，1231OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．解：令O 为坐标原点，可设()111cos sin P θθ，，()222cos sin P θθ，，()333cos sin P θθ，由123OP OP OP +=- ，即()()()112233cos sin cos sin cos sin θθθθθθ+=--，，， 123123cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩①②两式平方和()1212cos 11θθ+-+=，()121cos 2θθ-=-，由此可知12θθ-的最小正角为120︒，即1OP 与2OP的夹角为120︒， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为120︒，2OP 与3OP的夹角为120︒， 这说明123P P P ，，三点均匀分布在一个单位圆上，所以123PP P △为等腰三角形． 基础练习1．在ABC △中，若321AB BC BC CA AB CA⋅⋅⋅==，则tan A =__________． 2．已知P 为ABC △内一点，且满足3450PA PB PC ++=，那么PAB PBC PCA S S S =△△△∶∶__________．3．如图7-27，设P 为ABC △内一点，且2155AP AB AC =+，求ABP △的面积与ABC △的面积之比．PCA图7274．已知ABC △的三顶点坐标分别为()11A ，,()53B ，，()45C ，，直线l AB ∥，交AC 于D ，且直线l 平分ABC △的面积，求D 点坐标．5．已知()23A ，，()15B -，，且13AC AB = ，3AD AB =，求点C D 、的坐标．6．点O 是平面上一定点，A B C ，，是此平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0λ∈+∞，．则点P 的轨迹一定通过ABC △的__________心．能力提高7．设x y ∈R ，，i j 、为直角坐标系内x y 、轴正方向上的单位向量，若()2a xi y j =++，()62b xi y j =+- 且2216a b += ．（1）求点()M x y ，的轨迹C 的方程；（2）过定点()03，作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设OP OA OB =+，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，或不存在说明理由．8．（1）已知4a = ，3b = ，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ；（2）设()25OA = ，，()31OB = ，，()63OC =，，在OC 上是否存在点M，使MA MB ⊥ ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．设a b、是两个不共线的非零向量()t ∈R（1）记OA a = ，OB tb = ，()13OC a b =+，那么当实数t 为何值时，A B C 、、三点共线？（2）若1a b == 且a 与b 夹角为120︒，那么实数x 为何值时a xb -的值最小？10．设平面内的向量()17OA = ，，()51OB = ，，()21OM =，，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PA PB ⋅ 取最小值时，OP的坐标及APB ∠的余弦值．11．已知向量()11m = ，，向量n 与向量m 夹角为3π4，且1m n ⋅=- ．（1）求向量n；（2）若向量n 与向量()10q = ，的夹角为π2，向量22sin 4cos 2A p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，求2n p + 的值．12．已知定点()01A ，，()01B -，，()10C ，．动点P 满足：2AP BP k PC ⋅= ． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）当0k =时，求2AP BP +的最大值和最小值．13．在平行四边形ABCD 中，()11A ，，()60AB =，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．（1）若()35AD =，，求点C 的坐标；（2）当AB AD =时，求点P 的轨迹．14．已知向量()22a = ，，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且2a b ⋅=- ，（1）求向量b；（2）若()10t = ，且b t ⊥ ，2cos 2cos 2C c A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，其中A C 、是ABC △的内角，若三角形的三内角A B C 、、依次成等差数列，试求b c +的取值范围．。