湖南省2019年普通高等学校对口招生考试
数学试题(附答案)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟.满分120分
一、选择题（本大题每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{},3,1=
A ,{}a
B ，0=,且{}3,2,1,0B A = 则=a 【答案】C
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2. “4>x ” 是“2>x ”的 【答案】A A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件
3.过点P （1,1）且与直线043=-y x 平行的直线方程是 【答案】D
A. 0734=-+y x
B.0143=--y x
C. 0134=-+y x
D. 0143=+-y x
4.函数[])8,1(log )(2∈=x x x f 的值域为 【答案】B
A ．
[]4,0 B ．[]3,0 C ．[]4,1 D ． []3,1
5.不等式0)1(<+x x 的解集是 【答案】C A ．
{}1-<x x B ．{}0>x x C ．{}01<<-x x D ． {}01>-<x x x 或
6.已知4
3
tan -=α
，且α为第二象限角，则=αsin 【答案】D
A ．54-
B ． 54
C ．53-
D ．5
3 7.已知A 、B 为圆12
2
=+y x 上两点，O 为坐标原点，若
2AB =，则=•OB OA
【答案】B
A ．2
3
- B ．0 C ．21 D ．
2
8.函数
为常数）A x x f (2Asin )(+=的部分图像如图所示，则=A ______．【答案】A
A.1
B. 2
C. 3
D. -1
9.下列命题，正确的是 【答案】D A ．垂直于同一直线的两条直线平行 B ．垂直于同一个平面的两个平面平行
C ．若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则该直线与平面平行
D ．一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直。
10．已知直线为常数）b a by
ax l ,(1:=+经过点⎪⎭⎫ ⎝
⎛
3sin 3cos ππ， 则下列不等式一定成
立的是 【答案】A A ．122
≥+b a
B ．122≤+b a
C ．1≥+b a
D ．1≤+b a
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11、在一次射击比赛中，某运动员射击20次的成绩如下表所示：
则该运动员成绩的平均数是 （环） 【答案】8.5
12．已知向量)0,1(=a ， )1,0(=b ，)14,13(=c 且b y a x c
+=，则=+y x
．【答案】27
13．5
)1(+ax 的展开式中x 的系数为10，则=a
． 【答案】2
14.将2,5,11三个数分别加上相同的常数m ，使这三个数依次成等比数列，则=m
．【答案】1 15.已知函数))((R x x f ∈为奇函数，))((R x x g ∈为偶函数，且14)()(2
+-=+x x x g x f ，
求
=-)2()2(g f ．【答案】-13
三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22题为选做题．满分60分．解答题应写出文字
说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分10分）
已知数列{}n a 为等差数列，3,131==a a ，求： （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设n n n a b )1(-=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求100T .
17. （本小题满分10分）
10件产品中有2件不合格品，每一次取1件，有放回地抽取三次，用ξ表示取到不合格品的次数，求：
（I ）随机变量ξ的分布列； （II ）三次中至少有一次取到不合格品的概率．
解：
18. （本小题满分10分）
已知函数()⎩⎨⎧≤<-≤≤=).
42(,6),
20(,2x x x x x f .
（I ）画出()x f 的图像； （II ）若
2)(≥m f ，求m 的取值范围．
19. （本小题满分10分）
如图在三棱柱111C B A AB C -中，AB C AA 1底面⊥，1BC AB ==， 90ABC =∠，
D 为AC 的中点。
（I ）证明：C C AA B D 11平面⊥；
（II ）若直线1BA 与平面C C AA 11所成的角为
30，求三棱柱
111C B A AB C -的体积。
（I ）
证明: BC AB =且 D 为AC 的中点 ∴AC BD ⊥
又AB C AA 1底面⊥，ABC BD 平面⊂ ∴B D AA 1⊥
而AC AA 1与是C C AA 11平面内的两条相交直线，
∴C C AA B D 11平面⊥
20. （本小题满分10分）
已知椭圆C ：12
22
=+y x 。
（I ）求椭圆C 的离心率； （II ）已知点M （-1,0），直线1-=x y 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求M AB ∆的面积．
解：
选做题：请考生在第21，22题中选一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分，作答时请写清题号。
21．（本小题满分10分） 如图，在直角三角形ABC 中，
90ACB =∠， 60=∠ABC ，BC=2M 为ABC ∆内一点，
90BMC =∠且MC=1
解：
22．（本小题满分10分）
某企业拟生产产品A 和产品B ，已知生产一件A 产品需要新型材料2千克，用3个工时；生产一件B 产品需要新型材料1千克，用3个工时，生产一件产品A 的利润为1600元，生产一件产品B 的利润为1000元.现有新型材料200千克，问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最大。
[解] 设生产产品A 和产品B 分别为x ，y 件，公司获利为Z 元，则y x z
10001600+=
由题意得：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
0360232002y x y x y x
作出可行域如图四边形OABC 所示
作直线0l ：058=+y
x 并平移，由图象得，
当直线经过B 点时Z 能取得最大值，
由⎩⎨⎧=+=+360232002y x y x 解得⎩⎨⎧==12040y x
即B （40,120） 所以当（元）时，184001201000401600Z 120,40max =⨯+⨯===y x。