判别: 判别 是否为连续函数 ?
二、 导数和微分的求法
1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论界点 界点处左右导数是否存在和相等 界点 (2) 隐函数求导法 (3) 参数方程求导法 对数微分法
转化
极坐标方程求导
(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) 逐次求导归纳 ; (5) 高阶导数的求法 间接求导法;利用莱布尼兹公式.
2
且 联想到凑导数的定义式
f ( +s x+c sx− ) −f ( ) s 2 x+c sx− 1 in o 1 1 in o 1 = lim ⋅ 2 x 0 → s 2 x+c sx− in o 1 x 1 1 = f ′( )⋅( − ) = f ′( ) 1 1 1 2 2
2
) f (x 在 x=2 处连续,且 limf (x =3 ) 3.设 例3. , x 2x− → 2 ) 求 f ′(2 . ) limf (x =lim(x−2 ⋅ f (x ] =0 ) [ ) ) 解: f (2 = x 2 → x 2 → (x−2 )
2、设 f ( x )在(0, + ∞ )上有定义，且 f ′(1) = a( ≠ 0)，又对 上有定义， ∀x , y ∈ (0, + ∞ ), 有 f ( xy ) = f ( x ) + f ( y )，求 f ( x )
f ′( x ) = lim
∆x → ∞
f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x
x = 3t 2 + 2t + 3 例12 求由参数方程 y e sin t − y + 1 = 0
的微分。 所确定的函数 y = f ( x ) 的微分。
| x | 在 x = 0 处连续，但不可导；但 x | x | 在 处连续，但不可导；
处可导。 一般地， 处连续， x = 0 处可导。 一般地，当 f ( x ) 在 x = a 处连续， 且 f ( a ) = 0 时，函数 f ( x ) | x − a | 在 x = a 处可导 如果 f ( x ) 为偶函数，且 f ′(0) 存在，证明 为偶函数， 存在，
其他求导公式都可由它们及求导法则推出; 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. (2)用导数定义求极限 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用
1.设 例1. f ′(x ) 存在,求 0
f (x +∆ +(∆ )2)−f (x ) x x 0 0 lim . ∆→ x 0 ∆ x
f ′( 0 ) = 0
得
a +b +c, x>0 x x f (x = ) gx , () x≤0
2
c=g 0 ()
′ b=g (0 − )
′0 ′ ′0 ′ 3) 利用 f−( )= f+( ), 而
′ ) − ) ′ g(x −g (0 ′ ) ′ ′ f−(0 = lim =g′( ) −0 x−0 x 0 →− (2 x+b − a ) b ′ ) ′ f+(0 = lim =2 a + x−0 x 0 → 1 ′ 得 a= g′( ) −0 2
2
2 t + )3( − Hale Waihona Puke s y 2 ( 1 1 εo )
( − c s y 2 −2 t2( + )s y 1 εo ) ε t 1 in = 2 t + )3( − c sy 3 ( 1 1 εo )
例 9、设函数 f ( x )有方程 d2y 所确定， . 所确定，求 2 dx
x
y=
y
x ( x > 0, y > 0 )
f (x −f (2 ) ) f ′(2 = lim ) x 2 → x−2 f (x ) =lim =3 x 2x− → 2
思考题
1、设f ( x )对任何实数 x1、x2有 f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) 且f ′(0) = 1，证明：函数 f ( x )可导，且 f ′( x ) = 1. 证明： 可导，
解:
f (x +∆ +(∆ )2)−f (x ) ∆ +(∆ )2 x x x x 0 0 ⋅ 原式= lim 2 ∆→ x 0 ∆ x ∆ +(∆ ) x x
= f ′(x ) 0
f ( in x+c sx s o ) 1 1 . 例2.若 f ( )=0且 f ′( ) 存在 , 求 lim x x 0 ( − )ta x → e 1 n f ( in x+c sx s 2 o ) 解: 原式 = lim 2 x 0 → x
2 x,
x< 1 x= 1 x> 1 x> 时 f ′(x =2 . 1 ， ) x
1 a+ = =1(a+b+ ) b 1 2
x< 时f ′(x =a 1 , ) ;
利 f (x 在 = 处 导 得 用 ) x 1 可，
f ( )= f ( )= f ( ) 1 1 1
′1 ′1 f−( )= f+( )
d x =2 t + ) ( 1 dt dy 2 t = dt 1 εc sy − o
d d( t d ( y) ) d y dt d dt (t+ ) 1 εc sy 1( − o ) x = = 2 d x dx 2 t+ ) ( 1 dt d y ( − c sy − t( + )s y 1 ε o ) ε t 1 in dt =
例7. 选择 可使下述函数在
2
且
存在, 问怎样 处有二阶导数.
a +b +c, x>0 x x f (x = g x , ) () x≤0
′0 解: 由题设 f ′( )存在, 因此 + − f (0 )= f (0 )= f (0 , ) 1) 利用 连续, 即 在
() 得 c=g 0
′0 ′0 2) 利用 f+( )= f−( ), 而 g x −g 0 () () ′ ) ′ f−(0 = lim =g ( ) −0 x−0 x 0 →− 2 (a +b +c −g 0 x x ) () ′ ) f+(0 = lim =b x−0 x 0 →+
习题课 导数与微分
第二章
一、 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法
一、 导数和微分的概念及应用
• 导数 : 当 当 • 微分 : • 关系 : 可导 可微 时,为右导数 时,为左导数
• 应用 : (1) 利用导数定义解决的问题 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则
( ) =0 (lnx ′ =1; (s x ′ =c sx C′ ; ) x in ) o
即
−
+
a=2
a +b, x +b 1 f (x = 1(a + ), ) 2
2
x< 1 x= 1
x> 1 x, x< 时 f ′(x =a x> 时 f ′(x =2 1 , ) , 1 ， ) x
∴ a=2 b=− , , 1
f ′( )=2 1
2 1 , x≤ f ′(x = ) 2 1 x, x>
= x −1 f ′(1) = ax −1 f (1) = f ff1(× ) ) = ,ln 1)= 0f (1) ( ( x1= 0 f C + 1 a (x
4.设 例4. 试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求
a +b, x 解: f (x = 1(a + ), +b 1 ) 2
例10、求函数 y = e
求 f ′( 0 )
1 x
x sin x的导数。 的导数。
例11 设 f ( x ) = ln(1 + x ) ln( 2 + x ) ⋅ L ⋅ ln( n + x ) ， 解：令 g ( x ) = ln( 2 + x ) ⋅ L ⋅ ln( n + x ) ，那么
f ′( x ) = [ln(1 + x ) g ( x )]′
∆x f (1 + ) − f (1) x = x −1 lim ∆x → 0 ∆x f ( x ) = a ln x + C x
∆x f ( x ) + f (1 + ) − f ( x ) − f (1) x = lim ∆x → 0 ∆x
∆x f ( x(1 + )) − f ( x ⋅ 1) x = lim ∆x → 0 ∆x
1 g ( x ) + g ′( x ) ln(1 + x ) = v +1
则
f ′(0) = g (0) + 0 = ln 2 ⋅ ln 3 ⋅ L ⋅ ln n
注：在求多个因子乘积形式的函数在某点处的导数 令整个非零因子之积为新的函数， 时，令整个非零因子之积为新的函数，可以减少计 算量，如本题。 算量，如本题。
6.设 例6.
其中
可微 ,
s 解: d =s e de inx)+einxd s e ) ( in x y in x ( s
s =s ex ⋅einxd s x+e inx ⋅c sex dex) in ( in ) s o (
s o =e inx( o xs ex+exc sex )d c s in x
=t2 +2 x t 8.设由方程 2 例8. t ε in 1 1 −y+ s y= (0<ε < )