大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
下图很形象地说明了这个定理：5.基本求导法则：①和差求导法则：[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)②乘法求导法则：[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)→当u(x)=C（C为常数，且C≠0），有[Cu(x)]'=Cu'(x)③除法求导法则：[u(x)v(x)]'=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/[v(x)]²④复合函数求导法则：(f[g(x)])'=f'[g(x)]g'(x)【注意】f'[g(x)]和(f[g(x)])'不一样！注意下面的断句区别：f'[g(x)]是【以g(x)为自变量的】函数f(x)的导数(f[g(x)])'是【以g(x)为自变量的函数f(x)】的导数举个例子：如果f(x)=x²，g(x)=sin x，那么f'[g(x)]=2sin x，相当于把f'(x)=2x 中的x替换为了g(x)，即sin x；(f[g(x)])'=2x，相当于对(sin x)²求导，结果是2sin xcos x（即sin 2x）。
如果多个函数复合，从外往里求就好。
每次都看成是两个函数复合。
如：[f(g[h(x)])]'=f'(g[h(x)])[g(h(x))]'=f'(g[h(x)])g'[h(x)]h'(x)6.基本初等函数的求导公式（sqrt(x)表示根号x）：(1)(C)'=0(C为常数）；(2)(x^μ)'=μx^(μ-1)；(3)(sin x)'=cos x；(4)(cos x)'=-sin x；(5)(tan x)'=sec²x；(6)(cot x)'=-csc²x；(7)(sec x)'=sec xtanx；(8)(csc x)'=-csc xcot x；(9)(arcsin x)'=1/sqrt(1-x²)；(10)(arccos x)'=-1/sqrt(1-x²)；(11)(arctan x)'=1/(1+x²)；(12)(arccot x)'=-1/(1+x²)；(13)以a为底x的对数的导数：1/(xln a)；(14)(ln x)'=1/x；(15)(a^x)'=(a^x)ln a；(16)(e^x)'=e^x；7.反函数求导法则：g'(y)=1/f'(x)这个是什么意思呢？在此之前先解释一下什么是反函数。
反函数的标准定义：设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x) (-1应该在f的右上方，由于专栏无法打出上标故用^-1表示)。
通俗解释，如果一个函数是单调递增或单调递减的，那么将其自变量和因变量交换一下，得到的就是这个函数的反函数了！比如y=e^x，我们有[x=0,y=1],[x=1,y=e],[x=2,y=e²]……将自变量和因变量交换一下位置，得[y=1,x=0],[y=e,x=1],[y=e²,x=2]……，对应的函数是x=ln y，那么这个函数就是y=e^x 的反函数。
如何进行反函数的求导呢？以y=f(x)=e^x为例，有x=g(y)=ln y。
那么有[f^-1(x)]'=g'(y)=1/f'(x)=1/(e^x)。
又y=e^x，所以得原式=1/y。
对x=ln y直接求导也能得到一样的结果。
8.幂指函数的求导。
所谓幂指函数，指的是形如y=f(x)^g(x)的函数（f(x)的g(x)次方）。
对于这种函数，我们可以通过对数恒等式a^b=e^(bln a)，将该函数的求导化为普通复合函数的求导。
典型的应用，如求y=x^x的导数：9.隐函数的求导。
所谓隐函数，指的是“x和y混在一起的函数”，比如xy=1。
我们可以把隐函数化为显函数再求导，比如把xy=1化为y=1/x。
但许多时候隐函数并不能显化。
这个时候就要用隐函数的求导法则了。
对隐函数方程两边分别对x求导，最后将y'分离出来即得隐函数的导数。
注意，求导时时时刻刻记住y是x的函数，y对x求导时要用复合函数的求导法则。
比如求由方程e^y+xy-e=0所确定的隐函数的导数y'：两边求导，得(y'e^y)+(y+xy')=0，移项，合并同类项得y'=-y/(x+e^y)。
这就是该隐函数的导数。
注意其中xy的导数用乘法求导法则，(xy)'=1×y＋x×y'。
10.对数求导法。
对于幂指函数，可以用上文第7点提到的方法求导，也可以在函数两边同取对数，然后用隐函数的方法求导。
同样我们以y=x^x，同取自然对数得ln y=xln x，再求导得(1/y)y'=ln x+1，进而得y'=y(ln x+1)，将y=x^x代入即得与上面完全一致的结果。
11.由参数方程所确定的函数的导数。
设有这样的参数方程：x=f(t),y=g(t)（参数方程应该用一个大括号并排表示，但由于格式限制，只能这样写，还请谅解），那么由这个参数方程所确定的函数，导数为y'=g'(t)/f'(t)。
12.将极坐标曲线的方程化为参数方程：设某曲线的极坐标方程为r=φ(θ)，那么其对应的参数方程为x=φ(θ)cosθ,y=φ(θ)sinθ。
13.高阶导数。
高阶导数就是对函数多次求导得到的导数。
对函数求一次导即为普通的一阶导数，对一阶导数f'(x)再求导即为二阶导数f''(x)，……以此类推，f(x)的n阶导数记作f^(n)(x)（注意，这里的“(n)”在f的右上角，同样由于专栏格式限制无法打出，请注意。
它约定俗成地表示的是n阶导数而不是n次方）。
求高阶导数，要么就是按部就班地一阶阶求下去，要么就是找规律，要么就是套公式。
以下是常用初等函数的n阶导数公式：14.莱布尼兹公式设函数u=u(x)和v=v(x)都有n阶导数，对其逐次求导得：(uv)'=u'v+uv'(uv)''=u''v+2u'v'+uv''(uv)'''=u'''v+3u''v+3u'v''+uv'''这与二项式定理有着惊人的相似之处。
因此我们有：这就是求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼兹公式，也可以表示为：15.微分的定义。
通俗地讲就是把弯曲的函数通过细微分割变成“直的”，假设在x两侧某一小段函数是均匀变化的，然后再根据相应点的导数得到函数的增量f'(x)Δx。
这个f'(x)Δx就是f(x)在点x处的微分，记作dy。
实际上，函数不是线性的，实际的Δy=f'(x)Δx+o(x)，这个o(x)可以理解为“误差”。
不过当Δx足够小时，两者近似相等，即有Δy≈f'(x)Δx。
下面一张图很直观地说明了这个。
二次函数的图像和一条直线相切与点A，设切线的斜率为k（即f(x)在A点的导数为k），那么dy=kΔx，Δy≈kΔx。
没错，微分可以用来估计函数值。
16.导数与微分。
一般地我们把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx。
当Δx→0时，Δy=f'(x)Δx，即dy=f'(x)dx，所以f'(x)可以表示为微分dy/dx的形式。
所以导数与微分实际上是等效的。
dy=f'(x)dx，f'(x)=dy/dx。
那么知道了这一点，下面的微分运算法则、高阶微分实际上与求导是完全一样的，只不过导数变成了dy/dx罢了。
如f(x)=sin x，有f'(x)=cos x，进而得到d(sin x)/dx=cos x，所以就得到了d(sin x)=cos xdx。
但是要注意一点。
复合函数的微分法则中提到了一条特殊的性质：一阶微分形式的不变性。
大概说的就是对于一阶微分，不论怎样复杂，总可以化成dy=f'(x)dx的形式。
最后举个例子说明：。