第二章 部分习题及解答
B2.2 求下列函数的拉氏反变换：
(4)F(s)
(s
s 1)2(s
2)
(4)解：
F(s)
(s
s 1)2 (s
2)
1 (s 1)2
s
2 1
s
2 2
f (t) tet 2et 2e2t
t0
B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电压 u2(t)或uC2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。
B2.17 解：由梅森公式 :
T
1
n
pkk , 这里n
k 1
4
L1 G2H1,
L2 G4H2 ,
L3 G6H3 ,
L4 G3G4G5H4 ,
L5 G1G 2G 3G4G5G6H5 ,
L6 G7G3G4G5G6H5 ,
L7 G1G8G6H5
L8 G8H1H4,
L9 G7H1G8G6H5 ,
C1R1 )s
1
U c1 (s) U1 (s)
R1R 2C1C2s2
C1R1s 1 (R1C2 R2C2
C1R1 )s
1
R1R2C1C2uc1 (R1C2 R2C2 C1R1 )u c1 uc1 C1R1u 1 u1
B2.8 设系统的微分方程为
试用拉氏变换法进行求解。
B2.8解：
式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t) 为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。
试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含
有哪些典型环节?
B2.9(2)解：
G(s)
s2
1 2s 1
1 s
s3
s 2s2
s
1
s
(s 1.755)(s2 0.2451s 0.5698)
进行拉氏变换
s2Y(s) -
(sy (0)
y(0))
5sY(s)
-
5y(0)
6Y(s)
6 s
代入初值整理
Y(s)
2s2 12s 6 s3 5s2 6s
部分分式展开
Y(s)
4 s3
s
5
2
1 s
y(t) 4e3t 5e2t 1 , t 0
B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为
P1 G1G 2G 3G4G5G6 ,
1 1,
P2 G7G 3G4G5G6 ,
2 1
P3 G1G8G6 ,
3 1 G4H2,
P4 G7H1G8G6 ,
4 1 G4H2
C(s) / R(s) G1G 2G 3G4G5G6 G7G 3G4G5G6
(G1G8G6 G7H1G8G6 )(1 G4H2 )
uc2作为输出，应用网络的 复阻抗法：
U1
(s)
U1
(s)(
(R2
1 C1s
C1s
1
1 R1
)
1
R
2
1 C2s
R1
)
Uc2
U1(s)(1
(R
2
C1s
1
1 R1
)
1 C1s
1 R1
R2
1 C2s
)
Uc2
U c1 (s) U1 (s)
R1R 2C1C2s2
C1R1s 1 (R1C2 R2C2
B2.4解：
图B2.4 电路原理图
u2作为输出，应用网络的 复阻抗法：
U2(s)
U1 (s)
R1
1 C1s
R1
1 C1s
R2
1 C2s
(R2
1) C2s
[T1T2s2 (T1 T2 )s 1]U1(s) T1T2s2 (T1 T2 R1C2 )s 1
其中： T1 R1C1 , T2 R2C2 T1T2u2 (T1 T2 R1C2 )u 2 u2 T1T2u1 (T1 T2 )u 1 u1
1 G 2H1 G4H2 G6H3 G 3G4G5H4 G1G 2G 3G4G5G6H5 G7G 3G4G5G6H5 G1G8G6H5 G8H1H4 G7H1G8G6H5 G 2H1G4H2 G 2H1G6H3 G4H2G6H3 G4H2G8H1H4 G7H1G8G6H5G4H2 G1G8G6H5G4H2 G 2H1G4H2G6H3
G2 G3
H2
G5 G 2G 3
G4
Y
H3
RE - G1
1
- 1 G1G2H1
G2 G3
H2
G5 G 2G 3
G4
Y
H3
RE - G1
G 2G 3
1 G1G 2H1
1
G 2G 3 1 G1G 2H1
H2
H3
G5 G 2G 3
G4
Y
R
G1G5 G1G 2G 3G4
Y
1 G1G 2H1 G 2G 3H2 G1G5H3 G1G 2G 3G4H3
-2 -1 0
B2.15 已知控制系统的结构图如图B2.15所示，试应用结构 图等效变换法求各系统的传递函数。
B2.15解：
R(s)
Y(s)
G1(s)
G2(s)
G2(s) H(s)
R(s) G1(s) G2(s)
Y(s)
HG2(s)
G(s)
G1 1
G2 HG 2
B2.17 求图B2.17所示闭环控制系统的传递函数Φ(s)=Y(s)/R(s) 和Φe(s)=E(s)/R(s)。
B2.18 已知控制系统的结构图，如图B2.18所示。要求：(1) 分别应用结构图等效变换法和梅森公式求各闭环系统的传递 函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s)；(2)欲使图B2.18(a)系统的输 出Y(s)不受扰动D(s)的影响，试问其条件是什么?
B2.18解： 求各闭环系统的传递函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s)
由比例、理想微分 惯性、振荡构成。
B 2.9( 3 )解：
G(s)
s2
es 10s
5
(s
+
es 9.472) (s
+
0.5279)
比例、两个惯性、延迟 环节构成。
B2.12 已知控制系统在零初始条件下，由单位阶跃输入 信号所产生的输出响应为
y(t)=1+e-t-2e－2t 试求该系统的传递函数，和零极点的分布并画出在S平面 上的分布图。
B2.12解： 因为在r(t)=1(t)下系统的输出y(t)=1+e-t-2e－2t
对上式求拉氏变换
R (s)
1 s
Y(s)
1 s
s
1
1
s
2
2
s3
3s+ + 3 s2
2 +
2
s
3s+2
j
G(s)
s3
+
3 s2 1
+2s
s2
3s+2 +3s +2
s
3 (s + 0.6667) (s + 2) (s + 1)

RE
G1 -
G5
D
Y
- G1
- G2
G3
G4
H2
H3
H1 G2
G1
R
E -
G1
-
G5
D(s)
G2
G3
H2
G4
Y
H3
G5
R
E -
G1
1
- 1 G1G2H1
G2 G3
G4
Y
H2
H3
G5
G 2G 3
RE - G1
1
- 1 G1G2H1
G2 G3
Y G4
H2
H3
RE - G1
1
- 1 G1G2H1