若x a,取x 0,则同理可证 (a) f (a); 若x b,取x 0,则同理可证 (b) f (b).
定理2： （原函数存在定理）
如果f (x)在闭区间 [a,b]上连续，则函数
（x)
x
f (t)dt
a
就是f (x)在[a,b]上的一个原函数。
定积分
二、牛顿-莱不尼茨公式（微积分基本公式）
(i)分割：在 [a ,b ] 内n 插 1 个入 a 分 x 0 点 x n 1 x n b ， 得 n 个小 [x i 1 ,x i]i区 ,1 ,2 , ,n 间 .记 x i x i x i 1
(ii)作积：任取i [xi1,xi]i 1,2,,n
得第i个小曲边梯形面积 似的 值近y
(如图 )的面积。
y
解： 依题意，所求面积为
y=sinx
A0 sinxdx
o
x
cosx
0
(1)(1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，f且 (x) 0.证明
x
tf(t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x
x
x(fx) f(t)d tf(x) t(ft)dtf(x) (xt)f(t)dt
定理3：如果 F(x)是连续函 f (x数 )在区[间 a,b]上的一个 原函数，则
b
b
f (x)dxF(b)F(a)[F(x)]
(微积分基本公式）
a
证明：函数(x)
x
f
a (t)dt也是f (x)的一个原函数，从而
a
F(x)(x) C.令x a有F(a) C.即F(x)(x) F(a)
或 (x) x f (t)dtF(x)F(a).令x b,则 a b a f (t)dtF(b)F(a).
y=f(x)
Ai f (i)xi
n
n
(iii)求和： A Ai f(i)xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{x1,xn}，则曲边梯形面积
n
Alim 0 i1
f (i)xi
1.定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割： 在 [a,b]内插入若 ax0干 个 xn1分 xnb， 点 得 n个小 [xi1 区 ,xi]i,间 1,2, ,n.记 xi xixi1
1
2
解： (1)2x2 117，
2(41) 4(x2 1)dx17(41) 1
即 6 4(x2 1)dx51. 1
(2)先求f (x) ex2x在[0,2]上的最值. f (x) ex2x (2x 1),
当x 1时f (x) 0;当0 x 1时f (x) 0；当1 x 2时
2
定理2：若f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则
f(x)在[a,b]上可积。
3. 定积分的几何意义
b f(x)dx:
Y
介于 x轴、函 f(x数 )的图形及两条直线
a
xa、xb之间的各部分数 面和 积。 的代
y y=f(x)
+
a
o-
+ bx
4.例子 应用定1x义 2dx计 及算 1exdx
cosx
0
cosx
2
4
例2 ( 1 )f( x ) 连 g ( x 续 ) 可 ,( x ) ， 导 g ( x )f( t) d ,求 t( x ).
(2)y(x)x2cot2d s,t求 y
a
(3)y(x)0 exlntd,t求 y at
x2
(4)y(x)
1 d,t求 y.
x3 1t2
( 3 ) 若 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续， f ( x ) 0 ,
且 b f ( x ) dx 0 ,则在 [ a , b ]上 f ( x ) 0 . a
( 4 ) 若 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续， f ( x ) 0 ,
且 f ( x ) 0 , 则
例1 计算下列定积分
(1)
1 x2dx
0
1 x3 3
1 0
1 3
(2)
1 e x dx
0
ex10e1e0e1
(3)
1 1 dx
2 x
ln x 1 2ln 1ln 2ln 2
(4)
11 11 x2
dxarcxt1 1 an 4(4)2
2
2
(5)0
sinxdx sinxdx
0
sinxdx
b f(x)dxf()(ba) (ab). a
例1 根据定积分的性质 ，说明下列积分哪一个值较大：
（ 1 ） 1 x 2 d与 x 1 x 3 d； （ x2 ） 1 x与 d1 lxn 1 x ( )d.x
0
0
0
0
解：(1)x2及 x3在 [0,1]上连x 续 2x3 ， 且 1x2d x1x3d.x
i1
f(x)及积分[区 a,b间 ]有关，而与积分 记变 法量 无的 关，即
b
b
b
a f(x)dxa f(t)dta f(u)du
n
(ii) 和 f(i)xi通常f称 (x)的 为积分f(和 x)在 [。 a,b]若
i1
上的定积分 f(x存 )在 [a在 ,b]上 ，可 也积 称。
2. 可积的充分条件 定理1：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
x
f(t)dt f(x)
(axb).
dxa
证明： x(a,b),给x以增x量 ,且使 xx(a,b)
则（xx)(x) xx f(t)dt x f(t)dt
a
a
xx
中值定理
f(t)dt f()x(介于 x与xx之间）
x
即
f ()
x
令x 0,由f (x)在[a,b]上连续,有
(x) f (x).
0
0
又[0 在 ， 1]上x2 ， x30，1 故 x2d x1x3d.x
0
0
(2)x及ln1(x)在[0,1]上连续x， ln1且 (x)，
1
xdx
1ln1(x)d.x又在 [0， 1]上， xln1(x)0，
0
0
故1xdx
1
ln1(x)d.x
0
0
例2：估计下列积分值
（ 1） 4(x21)d； x（ 2） 0ex2xd.x
0
0
解： (1) f ( x) x 2在[0,1]上连续，故 1 x 2dx存在。 0
将[0，1]n等分，则
xi
1 n
,取i
i n
(i
1,2, , n), 有
1 x2dx 0
n
lim 0 i 1
Y
f ( i )xi
lim 0
n i 1
2 i
1 n
n
lim n i 1
( i )2 1 nn
计算lim x0
cosx
x2
解：原 l式 i m e c2 o x( s sx i) n lie m c2 o xs sx i n 1
x 0
2 x
x 0 2 x 2 e
练习
计算（ 1） 2 1 dx e1 1 x
2
( 2 ) 0 1 x dx
(3) y ( x )
x5
cos
t 2 dt , 求 y
f ( i ) x i
lim
0
n ei 1
i1
n
lim
iY
n n1 e lim
1
ni
en
n i1
n n n i 1
1
1
lim
n
1 n
1
(e n )n
1
1
en
(1
e ) lim n
n
1
1 en
1 en
e1
第二节 定积分的性质
定积分的性质
规定：(1)当ab时， b f(x)dx0; a
4
3
2.根据定积分的性质 ，说明下列积分哪一个值较大：
（ 1 ） 1 e x d与 x 1 (1 x )dx （ 2 ） 2 x 2 d与 x 2 x 3 d.x
0
s2xi 1 n )d x 2 （ 2 ） 91 3 3xarx c d t2 3 a x .n
(2)当ab时， b f(x)dxa f(x)dx.
a
b
b
b
b
性质1： a[f(x ) g (x )d ] x af(x )d x ag (x )d.x
b
b
性质2： akf(x)dxka f(x)d.x
性质3： 性质4：
b
c
b
af(x)d xaf(x)d xcf(x)d.x
b
b
a1dxadxba.
大家好
1
第五章 定积分
❖定积分的概念 ❖定积分的性质 中值定理 ❖微积分基本公式 ❖定积分的换元积分 ❖定积分的分部积分 ❖广义积分与函数 ❖定积分的应用
第一节 定积分概念
定积分概念
定积分
引例：曲边梯形的面积
设 y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续。求由 曲线y=f(x) 与直线x=a,x=b(a<b)所围图形的面积。
(ii)作积：任 i 取 [x i 1 ,x i]i 1 ,2 , ,n ,作f( 乘 i) x i 积 n
(iii)求和： S f (i)xi i1
(iv)取极限：记ma xx{1,xn}，若不[a论 ,b]怎 对样