y
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。
y f (x)
y
x
Oa b
y f (x)
—— 以直代曲
Oa
bx
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
1.5 定积分的概念
一. 求曲边梯形的面积 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连
续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的
图形叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P
放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线， 也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围 内以直代曲）．
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
1 (n 1)n(2n 1)
n3
6
1 6
1
1 n
2
1 n
.
nx
n
y
y
O 12 nn
O 12 nn
y x2
k n
nx
n
y x2
k n
nx
n
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分 （2）求面积的和 （3）取极限n
割 把这些矩形面积相加
y
作为整个曲边形面积S
的近似值。 有理由相信，分点
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
2．曲边梯形的面积
求曲边梯形的面积即
求 y f (x) 下的面积 f (x) 0 若“梯形” 很窄， 可近似地用矩形面积代替
越来越密时，即分割 越来越细时，矩形面 积和的极限即为曲边 形的面积。
o
x
1.5.2汽车行驶的路程
v S1 S
2
2
S3 S4 v(t )
Sj
Sn
t2 2
O
1
t
123 j n 1
nnn n n
v S1 S
2
2
S3 v(t )
t2 2
s0
1
n
Sj
s1
1
n
s3
1
n
Sn 1
sn 1
1
n
s3
1
n
O
1
t
n n
上图中:所有小矩形的面积之和,其极限就
是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2所围
成的曲边梯形的面积.
作业：Ｐ４７练习，Ｐ５０练习，２
因此, 我们有理由相
信, 这个曲边三角形
y
的面积为:
S
lim
n
Sn
lim
n
1 6
1
1 n
2
1 n
1.
3
y x2
O 12
k
nn
n
Sn
n i1
Si'
n i1
f
(i 1)x n
n (i 1)2 i1 n
1 n
0
1 n
1 2 n
1 n
2 2 n
1 n
n
n
1
2
1 n
1 (12 22 (n 1)2) n3