i =0 t -1
为方程的特解 .
yA(t)=(-a)ty0为 对应的齐次方程 的通解.
例
解
1 求差分方程 yt 1 - yt = 2 t 的 通 解 . 2 1 a = , f (t ) = 2t 2
t -1 1 i t - i -1 1 i -i t -1 yt = ( ) 2 = 2 ( ) 2 i =0 2 i =0 2 1 t 1- ( ) t -1 1 1 1 t -1 2 t t -1 i t -1 4 = 2 ( ) = 2 = ( ) ( 2 - 1) 1 3 2 i =0 4 14 t -1
acos(t+1)+bsin(t+1)+aacost+absint =b1cos t+b2sint, (acos+bsin +aa)cost+(-asin +bcos +ab)sint =b1cost+b2sint
(acos+bsin +aa)cost+(-asin +bcos +ab)sint =b1cost+b2sint 上式对t=0,1,2,…恒成立的充分必要条件是
第三节 一阶常系数齐次线性差分方程
1、迭代法

例 求差分方程
的通解。

例 求差分方程
的通解。
2、特征根法

设（2）有
类型的解，代入（2）得
因为 ，所以 （3） 称方程（3）为方程（2）的特征方程，而 为特征方程的根。于是 是齐次方程（2）的一个解，所以齐次方程 （2）的通解为 （C为任意常数）
yt = A 2t - 5, A为任意常数 .情形Ⅱ f(x)为Fra bibliotek项式函数
则
具有 Q x 的特解。其中 P n x 是与 n 同次的待定多 项式，k的值如下确定： (1)若1不是特征方程的根，k=0; (2)若1是特征方程的根,k=1

情形Ⅲ f(t)为指数函数 不妨设f(t)=b· dt, b,d均为非零常数,方程变为 yt+1+ayt=b· dt, t=0,1,2,…． 当a+d≠0时,设方程有特解 = ytdt, 为待定系数.将其代 入方程得 dt+1+adt=b· dt, 求得特解
cos1 - 2 sin1 a= ,b = 5 - 4 cos1 5 - 4 cos1
所给方程的通解为
2 - cos1 sin1 yt = A 2 cos t sint 5 - 4 cos1 5 - 4 cos1
t
b yt = dt ad
当a+d=0时 ,改设方程的特解 yt =tdt,为待定系数 ,将 其代入方程可求得特解
yt =btdt
方程的通解为
b t A( - a ) d t , a d 0, yt = y A yt = ad t t A ( a ) btd , a d = 0.
= 2kπ, = 2k 1π, 或 (k为整数 ) a = -1. a = 1.
改设特解 yt = t (a cost b sint ),a , b 为待定系数 .
代入方程并整理可得
a = b1 , a = -b1 , 或 b = b2 b = -b2 .
方程的通解为
A( - a ) t a cost b sint , D 0, A t (b1 cos 2kπt b2 sin2kπt ), = 2kπ, a = -1, yt = t A ( 1 ) - t b1 cos(2k 1)πt b2 sin( 2k 1)πt , = ( 2k 1)π, a = 1.
例
求差分方程 yt 1 - yt = 2t 的通解 .
a = -1, b = 1, d = 2, a d = 1 0
解
yt = A 2t , A为任意常数 .
情形Ⅳ f(t)为正弦、余弦型三角函数
设 f(t)=b1cost+b2sint, 其中 b1,b2, 均为常数 , 且 ≠0,b1与b2不同时为零.于是非齐次方程变为 yt+1+ayt=b1cost+b2sint,a≠0, t=0,1,2,…． 设方程有特解 yt=acost+bsint,a,b均为待定系数. 将其代入方程得

例 求方程 的特解。
满足初始条件
第四节 一阶常系数非齐次线性差分方程
由数学归纳法,可得
yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)
=(-a)ty0+ yt , (t=0,1,2,…)，
其 中 yt = ( - a )t -1 f (0) ( - a )t - 2 f (1) f ( t - 1) = ( - a )i f ( t - i - 1)
方程的通解
1 t 1 1 t -1 2 t 1 t 1 t 1 yt = A( ) ( ) ( 2 - 1) = A ( ) 2 2 3 2 2 3 2 A = A- 为任意常数 . 3
2.待定系数法求特解
情形Ⅰ f(t)为常数． 方程变为yt+1+ayt=b, a,b均为非零常数． 试以 yt = (为待定常数)形式的特解代入方程得 +a =(1+a) =b． b 当a≠-1时,可求得特解 y t = 1 a 当a=-1时,改设特解 yt = t (为待定系数),将其代 入方程得 (t+1)+a t=(1+a) t+ =b
(a cos )a sin b = b1 , - sin a (a cos )b = b2 .
其系数行列式
a cos sin D= = (a cos )2 sin2 - sin a cos
当D≠0时,则可求得其解
1 a = D b1 (a cos ) - b2 si n , 1 b = b2 (a cos ) b1 si n ; D 当D=(a+cos)2＋sin2=0时,则有
求得特解 yt = bt
方程的通解为
b t , a -1 A( - a ) yt = y A ( t ) yt = 1 a a = -1 A bt, 其 中A为 任 意 常 数 .
例 解
求差分方程 yt 1 - 2 yt = 5的通解 .
a = -2 -1, b = 5
差分方程
2012年8月
第一节
数列的差分
一. 数列的概念 二. 数列差分的概念
一. 数列的概念
一个数列就是实数的任何(有限或无限的) 有序集. 这些数称为数列的项或元素.

第二节
差分方程的概念
1、差分方程
定义 含有自变量、未知函数及其差分的方程,
称为差分方程.
例 求差分方程yt+1-2yt=cost的通解．
解 对应齐次方程的通解为 yA(t)=A· 2t． 设非齐次方程的特解为 yt =acost+bsint,
其中a, b为待定系数．
将其代入原方程,并利用三角函数的和角公式,得
a (cos1 - 2) b sin1 = 1, - a sin1 b (cos1 - 2) = 0.
2、差分方程的阶 定义
3、差分方程的解
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常 数的个数等于方程的阶数，则称这样的解为 差分方程的通解。 往往要根据动态系统在初始时刻所处的状态， 对差分方程附加一定的条件，这种附加条件 称为初始条件。 由初始条件确定了任意常数的解称为特解。
4、常系数线性差分方程解的结构