又∠CED′＝60°，∴∠AED＝
＝60°．
故选 A． 分析：根据折叠前后对应部分相等得∠AED′＝∠AED，再由已知求解．图形的折叠实际上 相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形， 重合的部分就是对应量．
3. （2016·四川南充） 如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF，将纸 片展平；再一次折叠，使点 D 落到 EF 上点 G 处，并使折痕经过点 A，展平纸片后∠DAG 的大小为（ ）
【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理．
【分析】过 A 作关于直线 MN 的对称点 A′，连接 A′B，由轴对称的性质可知 A′B 即为
PA+PB 的最小值，由对称的性质可知 =
，再由圆周角定理可求出∠A′ON 的度数，
再由勾股定理即可求解．
【解答】解：过 A 作关于直线 MN 的对称点 A′，连接 A′B，由轴对称的性质可知 A′B 即为
中考数学知识点专题分类复习：第 41 讲几何图形的折叠问题
【知识巩固】 折叠型问题通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来 命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决 问题的能力非常有效。下面我们一起来探究这种题型的解法。 折叠的规律是:折叠部分的图 形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。 【典例解析】 典例一、三角形中的折叠 (2017 湖 北 襄 阳 )如 图 ， 在 △ABC 中 ， ∠ ACB=90°， 点 D， E 分 别 在 AC， BC 上 ， 且 ∠ CDE=∠B，将△CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 F 处．若 AC=8，AB=10， 则 CD 的长为 ．
答案：126° 知识点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理 解析：按照如图所示的方法折叠，剪开，把相关字母标上，易得∠ODC 和∠DOC 的度 数，利用三角形的内角和定理可得∠OCD 的度数．解决本题的关键是能够理解所求的角是 五角星的哪个角，解题时可以结合正五边形的性质解决．
解答：解：展开如图： ∵∠COD＝360°÷10＝36°，∠ODC＝36°÷2＝18°， ∴∠OCD＝180°﹣36°﹣18°＝126°． 故选 C．
∴点 D 的坐标为（ ，
）．
故选：A．
典例三、圆中的折叠
（2016·山东省德州市·4 分）如图，半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半 圆弧的中点 M 与圆心 O 重合，则图中阴影部分的面积是 ﹣ ．
【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．
【分析】连接 OM 交 AB 于点 C，连接 OA、OB，根据题意 OM⊥AB 且 OC=MC=，继而
2. 将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝60°，则∠AED 的大小 是（ ）
A.60° 答案：A
B.50° C.75°
D.55°
知识点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 解析： 解答：解：∵∠AED′是△AED 沿 AE 折叠而得，∴∠AED′＝∠AED． 又∵∠DEC＝180°，即∠AED′+∠AED+∠CED′＝180°，
【变式训练】 如图，已知△ABC 中，AC=BC，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，把△BDE 沿直线 DE 翻 折，使点 B 落在 B'处，DB'、EB'分别交 AC 于点 F、G，若∠ADF=66°，则∠EGC 的度数 为 66° ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质． 【分析】由翻折变换的性质和等腰三角形的性质得出∠B′=∠B=∠A，再由三角形内角和定 理以及对顶角相等得出∠B′GF=∠ADF 即可． 【解答】解：由翻折变换的性质得：∠B′=∠B， ∵AC=BC， ∴∠A=∠B，
求出∠AOC=60°、AB=2AC= 形 ABM 计算可得答案．
，然后根据 S 弓形 ABM=S 扇形 OAB﹣S△AOB、S 阴影=S 半圆﹣2S 弓接 OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且 OC=MC=， 在 RT△AOC 中，∵OA=1，OC=，
） C．（
， ） D．（ ，3﹣
）
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；D5：坐标与图形性质；LB：矩形的性质． 【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出 D 点坐 标． 【解答】解：∵四边形 AOBC 是矩形，∠ABO=30°，点 B 的坐标为（0，3 ）， ∴AC=OB=3 ，∠CAB=30°，
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的
性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，
则 NG=AM，故 AN=NG，
则∠2=∠4，
PA+PB 的最小值，
连接 OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线 MN 对称，
∴=
，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
过 O 作 OQ⊥A′B 于 Q，
在 Rt△A′OQ 中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2 ，
即 PA+PB 的最小值 2 ．
故答案为：2 ．
∴AF=BF，即 F 是 AB 的中点， ∴Rt△ABC 中，CF= AB=5， 由 D，C，E，F 四点共圆，可得∠DFC=∠DEC， 由∠CDE=∠B，可得∠DEC=∠A， ∴∠DFC=∠A， 又∵∠DCF=∠FCA， ∴△CDF∽△CFA， ∴CF2=CD×CA，即 52=CD×8， ∴CD= ， 故答案为： ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KQ：勾股定理． 【分析】根据 D，C，E，F 四点共圆，可得∠CDE=∠CFE=∠B，再根据 CE=FE，可得∠ CFE=∠FCE，进而根据∠B=∠FCE，得出 CF=BF，同理可得 CF=AF，由此可得 F 是 AB 的中点，求得 CF= AB=5，再判定△CDF∽△CFA，得到 CF2=CD×CA，进而得出 CD 的 长． 【解答】解：由折叠可得，∠DCE=∠DFE=90°， ∴D，C，E，F 四点共圆， ∴∠CDE=∠CFE=∠B， 又∵CE=FE， ∴∠CFE=∠FCE， ∴∠B=∠FCE， ∴CF=BF， 同理可得，CF=AF，
典例七、折叠在几何图形中的综合应用 （2016·四川攀枝花） 如图，正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，折叠正方 形纸片 ABCD，使 AD 落在 BD 上，点 A 恰好与 BD 上的点 F 重合，展开后折痕 DE 分别 交 AB、AC 于点 E、G，连结 GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③ S△AGD=S△OGD；④四边形 AEFG 是菱形；⑤BE=2OG；⑥若 S△OGF=1，则正方形 ABCD 的 面积是 6+4 ，其中正确的结论个数为（ ）
∴AH=
=
=，
故答案为 ． 【变式训练】 （2017 内江）如图，在矩形 AOBC 中，O 为坐标原点，OA、OB 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（0，3 ），∠ABO=30°，将△ABC 沿 AB 所在直线对折后，点 C 落在点 D 处，则点 D 的坐标为（ ）
A．（ ，
） B．（2，
A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】四边形综合题． 【分析】①由四边形 ABCD 是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求 得∠ADG 的度数； ②由 AE=EF＜BE，可得 AD＞2AE； ③由 AG=GF＞OG，可得△AGD 的面积＞△OGD 的面积； ④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG 是等腰三角形，即可证得 AE=GF； ⑤易证得四边形 AEFG 是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得 BE=2OG； ⑥根据四边形 AEFG 是菱形可知 AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出 △OGF 时等腰直角三角形，由 S△OGF=1 求出 GF 的长，进而可得出 BE 及 AE 的长，利用正 方形的面积公式可得出结论． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠GAD=∠ADO=45°， 由折叠的性质可得：∠ADG= ∠ADO=22.5°， 故①正确． ∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°， ∴AE=EF＜BE， ∴AE＜ AB，
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质． 【 分 析 】 如 图 3 中 ， 连 接 AH． 由 题 意 可 知 在 Rt△AEH 中 ， AE=AD=3，
EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据 AH=
，计算即可．
【解答】解：如图 3 中，连接 AH．
由题意可知在 Rt△AEH 中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，
∴ OG2=1，解得 OG= ，
∴BE=2OG=2 ，GF=
=
=2，
∴AE=GF=2， ∴AB=BE+AE=2 +2， ∴S 正方形 ABCD=AB2=（2 +2）2=12+8 ∴其中正确结论的序号是：①④⑤． 故选 B． 【变式训练】
，故⑥错误．
【能力检测】 1. 如图，一张矩形纸片沿 AB 对折，以 AB 中点 O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折 线折叠，再沿 CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD 等于_________．
∴cos∠AOC= =，AC=
=
∴∠AOC=60°，AB=2AC= ， ∴∠AOB=2∠AOC=120°， 则 S 弓形 ABM=S 扇形 OAB﹣S△AOB
=
﹣× ×
=﹣ ， S 阴影=S 半圆﹣2S 弓形 ABM =π×12﹣2（ ﹣ ）