1.
给出代数系统中6大律 4大特殊元的定义。

2.
什么是群？什么是环？什么是整环？什么是域？什么是格？什么是布尔代数？ 3. 对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统，
并简要说明理由。

（1）}3,3/1,2,2/1,1{1
=S ，*为普通乘法。

（2）{}+=,1,02
S 为普通乘法。

（3）n n S },1,1,0{3
-= 为任意给定的正整数且,*2≥n 为模n 乘法， 为模n 加法。

（4）≤=},3,2,1,0{4
S 为小于等于关系。

（5）},6,3,2,1{5
=S ﹡和+分别表示最小公倍数和最大公约数。

4. 设A ={2，4，6，8}，A 上的二元运算*定义为：a *b =min {a ，b }，则在独异点<A ，*>中，单位元是 ，
零元是 。

5. 关于群的说法正确的是
（A ）群都有子群 (B)群的陪集也是群（C ）群的并是群 （D ）有限群只有2个生成元
6. 关于无零因子环，正确的是
（A ）没有零元 （B ）xy=0，则x 和y 中必有一个是0
（C ）没有零因子 (D)零元不唯一
7. 关于单位元，正确的说法是
（A ）单位元就是1 （B ）单位元就是0
（C ）有单位元，说明有左右单位元（D ）单位元不唯一
8. Z 8的全部生成元是 ，它有 个子群。

9. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13424321σ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12344321τ σ-1= ，τσ= .
10. 证明实数域关于加法和乘法是域.
11. 设G 的运算表如下表所示，问G 是否为循环群？如果是，求出它所有的生成元和子群；
12. n=5时，所有不同构的格有哪些？请做出他们的哈斯图，并判断他们是不是分配格，有补格，以及布
尔代数？
13. 除逻辑代数以外请举出2个布尔代数的实例。

14.请用集合论和代数结构里面的概念和知识重新阐述一下“物以类聚，人以群分”。

15.通过本学期的学习，你认为代数结构和图论里面的每个章节内容是按照什么逻辑关系来组织的？
16.说明右边的二元运算是否满足交换律？、结合律？、幂等
律？.
17.G = 3 Z ={ 3 z | z ∈Z } , G 上的运算是普通加法. 那么G 只有两个生成元，
它们是。

18.无限循环群的子群无限的（填是/不是/不一定是）。

19.的轮换形式是
，对换形
式是。

20.a∧b=0的对偶式是。

21.两个布尔代数同构的充分必要条件是。

22.如果<S,*,>构成一个格，则*和不满足( )。

A、交换律；
B、幂等律；
C、结合律；
D、分配律。

23.证明集合的幂集关于交并构成布尔代数.
24.设G 是群，a , b G 是有限阶元．证明| a b | = | b a |.
25.针对下述运算求出单位元、零元和所有可逆元素的逆元. 设Q为有理数集合，*运算定义如下：xy
∈Q, x*y=x+y-xy.
26.什么是Klein 四元群，求Klein 四元群G 所有子群，并画出其子群格。

27.判断下图中的格是否为分配格；(2) 针对下图中的格求出每个格的补元，并说明它们是否为有补格.
28.设（G，*）是n元有限群，e为单位元，a1,a2,…,a n是G的任意n个元素，不一定两两不同。

试证：
存在正整数p和q，1≦p≦q≦n,使得a p*a p+1*…*a q=e.
29.设（G，*）是群，（A，*）和（B，*)是它的两个子群，C={a*b|a∈A,b∈B}.证明：若*满足交换律，
则（C，*）也是(G，*）的子群。