§
数列求和
（ ： 45
分 分： 100
分）
一、 ( 每小 7
分，共 35 分 )
*
1
1．在等比数列 {a n } (
n ∈ N ) 中，若 a 1＝ 1， a 4＝ 8， 数列的前
10 和 (
)
A ． 2－ 18
B ． 2－ 19
2 2 C ． 2－
1
10
D ． 2－
1
11
2
2
2．若数列 {a n } 的通 公式
a n ＝2n ＋ 2n － 1， 数列 {a n } 的前 n 和 (
)
n
2 n ＋ 1
2
A ． 2 ＋ n －1
B ． 2 ＋ n － 1
C ． 2n ＋
1＋ n 2－ 2
D ． 2n ＋ n － 2
3．已知等比数列 {a
n } 的各 均 不等于 1 的正数， 数列 {b } 足 b ＝ lg
a ，
b ＝ 18，b ＝ 12，
n
n
n
3
6
数列 {b n } 的前 n 和的最大 等于 ( )
A ． 126
B ． 130
C ． 132
D ． 134
4．数列 {a } 的通 公式
n － 1 ·(4 n － 3) ， 它的前 100 之和 S
等于 (
)
n a ＝ ( － 1)
n
100
A ． 200
B ．－ 200
C ． 400
D ．－ 400
5．数列 1·n , 2(n －1),3(n
－2) ，⋯， n ·1的和 ( )
n(n ＋ 1)(n ＋ 2) n(n ＋ 1)(2n ＋ 1) n(n ＋ 2)(n ＋ 3)
n(n ＋ 1)(n ＋ 2)
二、填空 ( 每小 6 分，共 24 分 )
6．等比数列 {a } 的前 n 和 n
2 2
2
S ＝2 － 1， a
＋ a ＋⋯＋ a
＝ ________.
n n
1
2
n
7．已知数列 {a } 的通 a
与前 n 和 S
之 足关系式
S ＝ 2－ 3a ， a ＝ __________.
n
n
n
n
n
n
8．已知等比数列 {a } 中， a 1＝ 3，a 4＝ 81，若数列 {b
} 足 b ＝log 3a ， 数列
的前 n
n
n
n
n
1
b b
n ＋ 1
n 和 S ＝ ________.
n
9． 关于 x 的不等式 x 2－ x<2nx (n ∈ N * ) 的解集中整数的个数
a n ，数列 {a n } 的前 n 和
S n ， S 100 的 ________．
三、解答 ( 共 41 分 )
10． (13 分 ) 已知数列 n
n
和， 于任意的
*
{a } 的各 均 正数， S 其前 n
n ∈N 足关系式
2S n ＝ 3a n －3. (1) 求数列 {a } 的通 公式；
n
(2) 数列 {b
} 的通 公式是 b ＝
1 ，前 n 和 T ，求 ： 于任意的
n
n
n
log 3a n ·log 3a n ＋ 1
正数 n ， 有 T n <1.
} 足 a ＋ a ＋ a ＝ 28，且 a ＋ 2 是 a ， a 的等差
11． (14 分) 已知 增的等比数列 {a
n
2
3
4
3
2 4
中．
(1)求数列 {a n} 的通公式；
(2) 若 b n＝ a n log 1n＋1
成立的最小正整数n 的．
a n，S n＝ b1＋b2＋⋯＋
b n，求使S n＋ n·2 >50
2
12． (14 分 ) 已知等差数列 {a} 的首 a ＝ 1，公差 d>0，且第二、第五、第十四分
n1
是一个等比数列的第二、第三、第四．
(1)求数列 {a n} 的通公式；
n1*n n
，是否存在最大的整数t ，使得任意(2)b＝n(a n＋3) (n ∈N) ，S ＝ b1＋b2＋⋯＋ b
n t
成立？若存在，求出t ；若不存在，明理由．
的 n 均有 S >36答案
1 n
7.1 3 n－1
8.
n
100
6. 3(4－ 1) 2 4＋ 1
n
2S＝ 3a－3，
10. (1)n n( n≥2) ．
解由已知得n n
－ 3
2S－1＝ 3a－1
故2(S n－S n－1) ＝2a n＝ 3a n－ 3a n－1，即 a n＝ 3a n－1 (n ≥2) ．故数列 {a n} 等比数列，且公比q＝ 3.
又当 n＝ 1 ， 2a1＝ 3a1－ 3，∴ a1＝3. ∴ a n＝ 3n.
(2) 明
1
∵ b n＝n( n＋ 1)
＝1－1.
n n＋1
∴ T n＝ b1＋b2＋⋯＋ b n
111
＋⋯＋11
＝ 1－＋－
3－
n＋1
22n
1
＝ 1－n＋1<1.
11 解 (1) 此等比数列a1，a1q， a1q2， a1q3，⋯，其中 a1≠0， q≠ 0.
11213
＝ 28，①由意知： a q＋ a q ＋ a q
a1q＋ a1q3＝ 2(a 1q2＋ 2) ．②
②× 7－①得 6a 13121
q －15a q＋ 6a q＝0，
1
即2q2－ 5q＋ 2＝ 0，解得 q＝ 2 或 q＝ .
2
∵等比数列 {a n} 增，∴ a1＝ 2， q＝2，∴ a n＝ 2n.
n
(2) 由 (1) 得 b n＝－ n·2，
2 n
．
∴ S ＝ b ＋b ＋⋯＋ b ＝－ (1 ×2＋2×2 ＋⋯＋ n ·2)
n 12
n
n
2
n
T ＝1×2＋2×2 ＋⋯＋ n ·2，③
2
3
n ＋ 1
2T n ＝1×2＋2×2＋⋯＋ n ·2 . ④
由③－④，得－
n
2 ＋⋯＋ n
n ＋ 1
T ＝1×2＋1×2
1·2 － n ·2
n ＋1
n ＋ 1
n ＋1
＝ 2 － 2－ n ·2 ＝ (1
－ n) ·2 － 2，
∴－ T n ＝－ ( n －1) ·2n ＋
1－ 2.
∴ S n ＝－ ( n －1) ·2n ＋
1－ 2.
n ＋1
要使 S n ＋n ·2
>50 成立，
n ＋ 1
n ＋1
>50，即 n
即－ (n －1) ·2 － 2＋n ·2
2 >26.
4
5
x
是 增函数，
∵2＝ 16<26,2 ＝ 32>26，且 y ＝ 2 ∴ 足条件的 n 的最小 5.
12 解 (1)
由 意得 (a 1＋ d)(a 1＋ 13d) ＝ (a 1 ＋ 4d) 2，
整理得 2a 1d ＝ d 2.
∵ a 1＝ 1，解得 d ＝2， d ＝ 0( 舍 ) ．
∴ a n ＝ 2n － 1 (n ∈N * ) ．
(2)b n ＝
1
＝ 1 ＝ 1 1 1
n ( a n ＋
3) ＋ 1) 2 n － n ＋ 1 ，
2n ( n
∴ S ＝ b ＋b ＋⋯＋ b n
n 1 2
1 1 1 1
1
1
＝ 2
1－ 2 ＋ 2
－ 3
＋ n
－
n ＋1
1
1
＝
2(
n
＝ 2
1－
n ＋ 1
＋ 1) .
n
t
假 存在整数 t 足 S n >36 成立，
n ＋ 1 －
2(
n ＝
2(
1
＋ 1)
>0，
又 S n ＋1－ S n ＝ 2(
n ＋ 2)
n ＋ 1) n ＋ 2)(
n
∴数列 {S n } 是 增的．
1
t 1
∴ S 1＝ 4 S n 的最小 ，故 36<4，即 t<9.
又∵ t ∈Z ，∴适合条件的 t 的最大 8.。