求数列前n项和题型方法总结1、考纲解读（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。

（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。

（3）理解等差数列、等比数列的概念。

（4）掌握等差数列、等比数列通项公式和前n项和公式。

（5）能在具体的问题情境中识别等差关系或等比关系，并能利用有关知识解决问题。

（6）了解等车数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系。

常考题型：填空题，选择题，解答题占分比重：10~17分二、考点梳理（命题特点）&考试趋势2.1.数列的概念与简单表示法2.2.等差数列2.3.等比数列2.4.数列求和、数列的综合应用三、题型讲解3.1解题技巧归纳（提分秘笈）3.1.1公式法公式法：直接利用等差等比数列的前n项和公式.q q a a q q a S q na S q n dn n na a a n S n nn n n n n n --=--=≠==-+=+=11)1(,1.b 1.a 2)1(2)(11111时当；时，当项和公式②等比数列的前项和公式①等差数列的前例1{}.6-3942的值，求项和，且为其前为等差数列，若数列s a a n s a n n =答案 27 解析:{}()272292)(9,346-3359195111=⨯=+===++=+a a a S a d a d a d a d a n ，得，有的公差为设数列【注意事项】（1）善于识别题目类型，确定是等差数列还是等比数列. （2）等比数列中要注意公比为1的情况.3.1.2分组求和分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列例2{}{}{}.)2(2)1(.4-2n n n n n n n T n s n s n a s n a s 项和的前求数列为等比数列；证明：项和，且满足的前是数列已知+-=-答案 （1）见解析；（2）283223--++n n n解析:()[]()()()()283222)1(212142212222-2,2212.24}2{421,3,2122,424)(212313211111-11--+=-++--=-+++++++=+==+-+-=+-=+--=+-+-=-=--++++--n n n n n n n T n S n S n S S a n S n S n S S n S S Sn n n n n n n n n n n n n n n n于，所以）知由（的等比数列，公比为是首项首所以，所以又易知）（所以，即已知【注意事项】（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.（2）将通项分解成一些等差和等比数列或可直接求和的数列再进行求和.补充：常见数列的前n 项和()()()()()2333322222221321612132112531264221321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++++=++++=-+++++=+++++=++++n n n n n n n n n nn n n n n3.1.3裂项相消裂项相消法：把一个数列的通项分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.常见裂项公式{}()()().10log 1log 11log )4(;111)3(;1111)2();11(11),0(0)1(11≠>-+=⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=⋅≠++a a n n n n n n n k n n d k n n a a d a a d d a a a a n n n n n 且则的等差数列，公差为为各项都不为若例3{}{}{}.,)2()1(.240,110111510n n n nn n n n n n T n b a a a a b a s s n a s 项和的前求数列令的通项通项公求数列项和，且满足的前是等差数列设+++===答案()()nn nT nan n21221++== 解析:()()nn nn n n T n n n n n n n n n n b na d a d a d a d n n n 21211141313121211,21111122222222,222402141515110291010,1111++=++-++-+-+-=++-=+++=+++====⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=⨯+ ，解得则有设公差为【注意事项】（1）对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项相消法”，分式型数列的求和多用此法.（2）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前边剩两项，后边也剩两项.（3）有些情况下，裂项时需要调整前面的系数，使裂开后的两项之差和系数之积与原项相等.3.1.4错位相减错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.例4{}{}{}.,)2()1(.2,22,04322n n nn n n n T n b a nb a a s a s q s n a 项和的前求数列设的通项求数列，公比项和为的前已知等比数列=-=-=>答案()()nn nnn T a222221+-==解析:()()()nn n n n n n n n n n n n n n n n nn n T n n n T n n T n n T n ba a q a q a a a a a a S q q q q a a a a S a S222221122112112122121212121,22122212122123222121222,22,2222.2,0,02222211113213213211112212222434322+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++++=-+-+++=+-++++===∴=∴-=+∴-=+∴-==>=---=--=-=++++-则②得①②①，知，由所以又因为，则①得，②②，①，已知【注意事项】（1）善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.（2）在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn ”的表达式.（3）应用等比数列求和公式必须注意公比q 时候等于1，如果不能确定公比q 是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常会考查.3.1.5倒序相加倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前n 项和公式的推导方法.例5()()()()().,lg lg lg lg lg ,12lg ,1,1,lg 1221S y xyy x y x x S b a y b x a nn n n n 求且满足已知平面向量+++++==⋅==---答案()16+=n n S解析:()()()()()()()()()()()[]()()[]()n n n n n n n n nn n n nn n n n n x y y x xy xy y x y x S x y x y xxyy S y xy y x y x x S xy y x b a y b x a lg lg lg lg lg lg lg lg 2lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg .12)lg(,12lg lg 12lg ,1,1,lg 111112211221++++++++=+++++=+++++===+=⋅==---------- 两式相加得，，所以，因为即所以，满足因为为平面向()()()()()()[]()()()()16S 112lg 1lg lg lg lg lg lg 11+=+=+=+++=++⋅+=--n n n n xy n n xy xy xy n x y xy y x y x n n n n n n 所以【注意事项】（1）数列特征是“与首末两项等距离的两项之和相等”（2）把数列正着写和倒着写再相加,，即可求出该数列前n 项和的2倍，不要忘记除以 2.3.1.6合并求和合并求和法：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在数列求和时，可将这些项放在一起先求和，在求Sn.例7{}.log log log 9103231365的值，求中，数列在各项各项均为正数的a a a a a a n +++=答案 10解析:{}109log )(log )(log log log log 95365921013109321310323136592101==⨯⨯⨯==+++====a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 所以，是等比数列，所以因为为数【注意事项】（1）善于发现数列的特殊性质，如对数指数的运算等. （2）计算时不要出现错误.3.1.7构造法构造法：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求和.例8 之和求个11111111111n ++++ 答案81109101--+n n解析:()()()()()()()[]()()811091091011011091910101010911101101109111111*********199999111111109199991111,11091999111,110919911132121191321--=---⨯=-++++⨯=-++-+-⨯=++++-⨯=⨯=-⨯=⨯=-⨯=⨯=-⨯=⨯=+n n n n n nnn nn n 个个个所以【注意事项】（1）善于发现数列的规律，并能找出其通项.（2）计算时不要出现错误.3.2易错易混归纳3.2.1裂项时不注意系数例1{}{}.611)2()1(.,2,12<⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+*n n n n n n n n T T n a a a N n n n S S n a ，求证项和为的前设数列的通项求数列且项和为的前已知数列答案见解析）（)2(121+=n a n解析:（1）;（2）()()()()()()()()()613121321-3121321-1217151513121321-12121321211122121121212122,311112211=⋅<⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+=+=+⨯=+=----+=-=≥==+-n n n T n n n n a a n an a a n n n n n S S a n an n n n nn n n n 则所以，因为所以且时，当时，当3.2.2通项公式与n 为奇数有关时，需要分情况讨论例2{}{}{}.,log )2()1(.21n 2n 1n n 1n n n n n S n b a b a a a a a 项和的前求数列若的通项通项公求数列，中，已知在数列===+答案⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎩⎪⎨⎧=-为偶数，为奇数）（为偶数，为奇数）（n n n n S n n a n nn n 4,4122,2122221解析:{}{}⎪⎩⎪⎨⎧==⋅==⋅======≥=---++为偶数，为奇数的通项通综上，数列为偶数时，当为奇数时，所以当，，又构成等比数列的奇数项奇数项与偶数所以数列，，所以时，，所以当因为n n a a a n a n a a a a a a a a n a a nn n n n n n n n n n 22121-2n 2121n 1211-n 1n 1-n 1-n 1n n 2,2222;221221.2222)1({}⎪⎩⎪⎨⎧-==-+++=++++++=-=-++++=+++++++===+===--++为偶数，为奇数项和的前综上，数列为偶数时当为奇数时当所以，因为n n n n S n b n n b b b b b b S n n n b b b b b b b S n b n b b a b a a a n n n n n n n n n 4,41.4)1(31)()()(,;41)1(420)()()(,,0,,log ,21)2(22214321215432111n n n 2n 1n n 1１１。