§6.4 数列求和
（时间：45分钟 满分：100分）
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．在等比数列{a n } (n ∈N *
)中，若a 1＝1，a 4＝18
，则该数列的前10项和为( )
A ．2－128
B ．2－1
29
C ．2－1210
D ．2－1
211
2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n
＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )
A ．2n
＋n 2
－1 B ．2
n ＋1＋n 2
－1
C ．2
n ＋1＋n 2
－2
D ．2n
＋n －2
3．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( ) A ．126
B ．130
C ．132
D ．134
4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)
n －1
·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )
A ．200
B ．－200
C ．400
D ．－400
5．数列1·n ,2(n －1),3(n －2)，…，n ·1的和为( ) A.16n (n ＋1)(n ＋2) B.1
6n (n ＋1)(2n ＋1) C.13n (n ＋2)(n ＋3) D.1
3n (n ＋1)(n ＋2) 二、填空题(每小题6分，共24分)
6．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n
－1，则a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n ＝________.
7．已知数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间满足关系式S n ＝2－3a n ，则a n ＝__________.
8．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.
9．设关于x 的不等式x 2
－x <2nx (n ∈N *
)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． 三、解答题(共41分)
10．(13分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *
满足关系式
2S n ＝3a n －3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1
log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的
正数n ，总有T n <1.
11．(14分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差
中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1
>50成立的最小正整数n 的
值．
12．(14分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别
是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N *
)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任
意的n 均有S n >t
36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.A
6. 13
(4n
－1) 7. 12⎝ ⎛⎭
⎪⎫34n －1
8.
n
n ＋1
9.10 100
10. (1)解 由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
2S n ＝3a n －3，
2S n －1＝3a n －1－3 (n ≥2)．
故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1 (n ≥2)． 故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. 又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3.∴a n ＝3n
.
(2)证明 ∵b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1.
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1
<1.
11解 (1)设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2
，a 1q 3
，…，其中a 1≠0，q ≠0.
由题意知：a 1q ＋a 1q 2
＋a 1q 3
＝28，
① a 1q ＋a 1q 3
＝2(a 1q 2＋2)．
②
②×7－①得6a 1q 3
－15a 1q 2
＋6a 1q ＝0，
即2q 2
－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12
.
∵等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n
. (2)由(1)得b n ＝－n ·2n
，
∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22
＋…＋n ·2n
)． 设T n ＝1×2＋2×22
＋…＋n ·2n
，③
则2T n ＝1×22
＋2×23
＋…＋n ·2
n ＋1
.④
由③－④，得－T n ＝1×2＋1×22
＋…＋1·2n
－n ·2n ＋1
＝2
n ＋1
－2－n ·2
n ＋1
＝(1－n )·2
n ＋1
－2，
∴－T n ＝－(n －1)·2n ＋1
－2.
∴S n ＝－(n －1)·2n ＋1
－2.
要使S n ＋n ·2
n ＋1
>50成立， 即－(n －1)·2
n ＋1
－2＋n ·2
n ＋1
>50，即2n
>26.
∵24
＝16<26,25
＝32>26，且y ＝2x
是单调递增函数， ∴满足条件的n 的最小值为5.
12解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2
，
整理得2a 1d ＝d 2
.
∵a 1＝1，解得d ＝2，d ＝0(舍)． ∴a n ＝2n －1 (n ∈N *
)． (2)b n ＝
1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝
⎛⎭⎫1
n －1n ＋1，
∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1 ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t
36
总成立，
又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝1
2(n ＋2)(n ＋1)
>0，
∴数列{S n }是单调递增的．
∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<1
4，即t <9.
又∵t ∈Z，∴适合条件的t 的最大值为8.。