第五章 弯曲应力
5.2简支梁承受均布载荷如图所示。

若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且
5
3
,
40221==D d mm D ，试分别计算它们的最大正应力。

并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？
解：1)空心截面尺寸： 由
()
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=
2
2
2
2222
22
21
144
4
D d D d
D D π
π
π
求出；mm d mm D 30,5022== 2)确定危险截面：
梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁中间截面。

且：m KN ql M ⋅==18
2max 3)求最大正应力： 实心截面：32
3
1D W Z π=
M P a
W M Z
2.159m a x
m a x ==
σ 空心截面：⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4
2232
132D d D W Z π M P a W M Z
6.93max '
max ==σ 4)最大正应力之比：
%2.412
.1596
.932.159max '
max max =-=-σσσ
5.4矩形截面悬臂梁如图所示，已知[]MPa m KN q h b m l 10,/10,3
2
,4====σ。

试确定此梁横截面的尺寸。

解：1) )确定危险截面：
梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁固定端截面。

且：2
2max
ql M =
2)建立强度条件：[]σσ≤=Z
W M max max
其中：62
bh W Z = 3)代入数据求出梁截面尺寸：mm h mm b 416,277≥≥.
5.8压板的尺寸和载荷情况如图所示。

材料为45钢，MPa s 380=σ，取安全系数n=1.5。

试校核压板的强度。

解：1)最大弯矩
()()
m N M ⋅=⨯⨯=-3081020104.1533max
2)A —A 截面抗弯模量
()
3
2
633max
568.110
112102.1203.0cm y I W =⨯⨯⨯-==
--3)最大正应力： MPa W M Z
4.196max
max ==
σ 许用应力[]MPa n
s
253==
σσ 可见s σσ〈max ，压板强度足够。

5.11图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为倒T 形，材料的拉伸和压缩许用应力之比
[][]4/1/=c t σσ。

求水平翼板的合理宽度。

解：1)确定中性轴位置：由于梁受正的弯矩作，用，因此梁的中性轴以下部分受拉而产生拉应力，中性轴以上部分受压而产生压应力。

由于：
[][]4/1/===上下上
下
y y I My I My z
z
c t σσ
而400=上下＋y y ，由此求出：
mm y mm y 320,80=上下＝
2）图中中性轴c z 为截面的一形心轴，则0=zc s ，可得：
()()()()017032034030308060=-⋅⨯--⋅⨯b 求出：b=510mm
5.13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A 、B 两点间长度的改变为mm l 3
1027-⨯=∆，材料的E=200GPa ，试求梁截面上的弯矩M 。

解：由梁所受弯矩方向可判断出AB 处于受拉区，AB 产生的线应变：l
l ∆=
ε 查表20号槽钢：cm y mm I z 95.1,1014408=⨯=- 而εσE I My
z
AB ==
则可求出： m KN y I E M z
⋅=-=
7.10)
5.0(0ε
5.16铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图。

许用拉应力和压应力分别为
[][]MPa MPa c t 160,40==σσ。

试按正应力强度条件校核梁的强度。

解：1)截面几何性质：()()()()()
cm y 75.1532025.21320103200=⨯⨯+⨯=
()()()()4
2323601375.155.213201232075.532012203cm I z =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⨯+⨯+⨯+⨯
=
2)强度校核：梁的弯矩图如图 截面B ：()()[]t MPa σσ
〈=⨯⨯-⨯=
--+1.241060131075.152310203
2
3
max
()()[]c MPa σσ
〈=⨯⨯⨯=
---4.5210
60131075.1510203
2
3
max
截面C ：()()[]t MPa σσ
〈=⨯⨯⨯=
--+2.261060131075.1510103
2
3
max
()()[]c MPa σσ
〈=⨯⨯-⨯=
---06.1210
60131075.152310103
2
3
max
∴强度足够。

5.17试计算图示矩形截面简支梁的1--1截面上a 点和b 点的正应力和剪应力。

解：1)确定1—1截面的剪力和弯矩，
剪力图和弯矩图如图所示。

则可求出：
KN Q m KN M 11
40,114011=⋅=
2)a 点：()MPa I y
M z
a a 04.615.0075.012
104.0075.0101140
331=⨯⨯-⨯⨯==σ
MPa y h I Q a z a 379.0035.0415.015.0075.012
12101140
42223322
1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τ b 点：MPa I y
M z
b b 9.1215.0075.012
1075
.0101140
331=⨯⨯⨯⨯==σ
00415.015.0075.012
121011
40
42233221
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b z
b y h I Q τ 5.21起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重Q ＝50KN,起重量P=10KN 。

许用应力
[][]MPa MPa 100,160==τσ。

若暂不考虑梁的自重 。

试按正应力强度条件选定工字钢型
号，
然后再按剪应力强度条件进行校核。

解：1)梁的受力简图如图，可求出起重机对梁的作用力：KN P KN P 50,1021==
2)确定起重机的危险位置及梁内的最大弯矩：
设D 距B 端为x ，则可求出：
()()x x P x P R B 65810
81012-=-+-=
2658x x x R M B D -==
由
00
=dx
M ，得起重机的危险位置：x=29/6 m 此时梁内的最大弯矩：m KN M D ⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=2.1406296629582
max
3)截面设计：由弯曲正应力强度条件[]σσ≤=
Z
W M max
max 可求出：()
3
6
343810
1602102.140cm W =⨯⨯≥ 故选取两根No.28a 工字钢 ()
315.508cm W = 4)按弯曲剪应力强度条件校核：查表No.28a 工字钢
mm b cm S I z
z
5.8,
6.24==* 由梁的受力情况确定剪力分布情况，得出：KN Q =max
则[]ττ〈=⋅=*MPa b
I S Q z z 9.132max max
， No.28a 工字钢完全满足强度要求。

5.26用螺钉将四块木板连接而成的箱形梁如图所示。

每块木板的横截面皆为mm 25150⨯。

若每一螺钉的许可剪力为1.1KN ，试确定螺钉的间距s.设P ＝5.5KN 。

解：1)截面几何性质
顶板对中性轴的静矩为：
3
3
103105.8225150mm
S z ⨯=⨯⨯=
截面对中性轴的惯性矩为：
()
4533108.715010020015012
1
m I z -⨯=⨯-⨯=
MPa b
I S Q z z
377.0max =⋅=
τ []Q s b A Q ≤⋅⋅=⋅=ττm a x 可求出：。