第二章 极限与连续
一、教学要求
1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法.
2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。

难点：极限、连续的概念。

二、课程内容导读
1. 掌握求简单极限的常用方法。

求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限；
(3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。

例1 求下列极限： （1）x
x x 3
3sin 9lim
-+→
（2）1
)
1sin(lim
21--→x x x （3）x
x x 10
)21(lim -→
（4）2
22)sin (1
cos lim x x x x x +-+∞→
（5）)1
1e (lim 0
-+
→x x x
x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x
x x 3
3sin 9lim
-+→
=)
33sin 9()
33sin 9)(33sin 9(lim
0++++-+→x x x x x
=3
3sin 91
lim 3sin lim
00++⨯→→x x x x x
=2
1
613=⨯
（2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()
1sin(lim 1
)1sin(lim
121-+-=--→→x x x x x x x
11
lim 1
)1sin(lim 11+⋅--=→→x x x x x
2
11111=+⨯
= （3）利用第二重要极限计算，即
x x x 10
)21(lim -→＝2
21
]
)
21[(lim --→-x x x 2e -=。

（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即
222222222)
sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x
x x sin 1
sin =，)1(cos 11cos 222
2-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。

（5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0
-+
→x x x
x ＝11
01e 00-=-+⋅ 2. 知道一些与极限有关的概念
(1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；
(2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点； 例2 填空、选择题
(1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1
ln
+→x x
B. )1(ln →x x
C. )0(e 1→-
x x
D.
)2(4
2
2
→--x x x 解 选项A 中：因为 +
→0x 时，
+∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x
1
ln 不是无穷小量； 选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量；
选项C 中：因为 +
→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1
→-x ；但是-
→0x 时，x
1- +∞→，
故+∞→-
x
1
e
，因此x
1e
-
当0→x 时不是无穷小量。

选项D 中：因为
21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4
2
2
--x x 不是无穷小量。

因此正确的选项是B 。

（2） 下列极限计算正确的是（ ）。

A.=→x x x 1sin
lim 0
01
sin lim lim 00=→→x
x x x
B. =→x x
x 2sin 2tan lim 0122sin 22tan lim 0=→x
x
x x
x
C. =-+∞
→)(lim 2
x x x x 0lim lim
2=-+∞
→∞
→x x x x x
D. =-+-∞→1)11(
lim x x x x x x x x )11(lim -+∞→1)11(lim -∞→-+x x x e e e
e 1
1==--
解 选项A 不正确。

因为x
x 1
sin lim 0→不存在，故不能直接用乘积的运算法则，即
≠→x x x 1sin lim 0x
x x x 1
sin lim lim 00→→ 选项B 正确。

将分子、分母同除以2x ，再利用第一个重要极限的扩展形式，得到
=→x x x 2sin 2tan lim 0122sin 22tan lim 0=→x
x
x x x 选项C 不正确。

因为∞→∞→+∞→x x x x ，时，2，故不能直接用极限的减法运算法则，即
≠-+∞
→)(lim 2x x x x x
x x x x ∞
→∞
→-+lim lim
2
选项D 不正确。

1
)1
1(lim -∞→-+x x x x 可以分成两项乘积，即
1)11(lim -∞→-+x x x x =x x x x )11(lim -+∞→1
)1
1(lim -∞→-+x x x 其中第一项x x x x )11(lim -+∞→=x x x x )1111(
lim -+∞→=x x x
x x x )
11(lim )11(lim -+∞→∞→1
e e -= 而第二项1
)11(lim -∞→-+x x x 1)1
111(lim 1=-+
=-∞→x
x x 1e -≠
故原算法错误。

正确选项应是B 。

（3）当=k （ ）时，⎩⎨⎧<+≥+=0
01
)(2
x k
x x x x f 在0=x 处连续。

A. 0
B. －1
C. 2
D. 1
解 函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。

因为函数已是右连续，且
110)0(=+=f
而左连续)0()(lim )0(2
f k k x f x ==+=-→-
故当=k 1时，)(x f 在0=x 处连续。

正确的选项是D 。