2018年浙江专升本高数考试真题答案一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
1、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00,,sin )(x x xx x x f ，则)(x f 在)1,1(-内（ C ）A 、有可去间断点B 、连续点C 、有跳跃间断点D 、有第二间断点解析：1sin lim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xxx f x x f x x x x )(lim )(lim 0x f x f x x +-→→≠ ，但是又存在，0=∴x 是跳跃间断点2、当0→x 时，x x x cos sin -是2x 的（ D ）无穷小 A 、低阶B 、等阶C 、同阶D 、高阶解析：02sin lim 2sin cos cos lim cos sin lim0020==+-=-→→→xx x x x x x x x x x x x ⇒高阶无穷小 3、设)(x f 二阶可导，在0x x =处0)(0<''x f ，0)(lim 0=-→x x x f x x ，则)(x f 在0x x =处（ B ） A 、取得极小值B 、取得极大值C 、不是极值D 、())(0,0x f x 是拐点解析：0000)()(lim )(,0)(lim00x x x f x f x f x x x f x x x x --='∴=-→→ ，则其0)(,0)(00=='x f x f ，0x 为驻点，又000)(x x x f =∴<'' 是极大值点。
4、已知)(x f 在[]b a ,上连续，则下列说法不正确的是（ B ） A 、已知⎰=badx x f 0)(2，则在[]b a ,上，0)(=x fB 、⎰-=xxx f x f dt t f dx d 2)()2()(，其中[]b a x x ,2,∈C 、0)()(<⋅b f a f ，则()b a ,内有ξ使得0)(=ξfD 、)(x f y =在[]b a ,上有最大值M 和最小值m ，则⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(解析：A.由定积分几何意义可知，0)(2≥x f ，dx x f ba)(2⎰为)(2x f 在[]b a ,上与x 轴围成的面积，该面积为0⇒0)(2=x f ，事实上若)(x f 满足)(0)(0)(b x a x f dx x f b a≤≤=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⎰非负连续 B. )()2(2)(2x f x f dx x f dxd x x -=⎰ C. 有零点定理知结论正确D. 由积分估值定理可知，()b a x ,∈，M x f m ≤≤)(， 则)()()()(a b M dx x f a b m Mdx dx x f mdx babab ab a-≤≤-⇒≤≤⎰⎰⎰⎰5、下列级数绝对收敛的是（ C ）A 、∑∞=-+-111)1(n n n B 、∑∞=-+-11)1ln()1(n n n C 、∑∞=+139cos n n n D 、∑∞=11n n解析：A.1111lim=+∞→nn n ，由∑∞=11n n 发散11+⇒n 发散 B. 011lim )1ln(lim )1ln(11lim =+=+=+∞→∞→∞→n n n n n n n n ，由∑∞=11n n 发散∑∞=+⇒1)1ln(1n n 发散 C.919cos 22+≤+n n n ，而232191limn n n +∞→=1，由∑∞=1231n n 收敛⇒912+n 收敛⇒9cos 2+n n 收敛 D.∑∞=11n n 发散 二、填空题6、axx e x a =+→1)sin 1(lim解析：a xa x a xx a x a xx xx e ee ex a x x ====+⋅+++→→→→1cos sin 11lim )sin 1ln(lim )sin 1ln(11000lim )sin 1(lim7、3sin )23()3(lim=--→xx f f x ，则23)3(='f解析：3)3(22)3()23(lim 2sin )23()3(lim00='=---=--→→f xf x f x x f f x x8、若常数b a ,使得5)(cos sin lim20=--→b x a e xx x ，则9-=b解析：5)(cos lim )(cos sin lim 2020=--=--→→ae b x x b x a e x x x x x 所以根据洛必达法则可知：1,01==-a a212cos lim 2)(cos lim00bb x x b x x x x -=-=-→→ 9,521-==-b b9、设⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(，则11==t dx dy解析：2221)1(11111t t t tt dtdxdt dydx dy++=++-=，11==t dx dy10、)(x f y =是0122=--y x 所确定的隐函数，则32222y x y dx y d -=解析：方程两边同时求导，得：022='-y y x ，yx y ='， 方程022='-y y x 同时求导，得：0)(12=''-'-y y y ，将yxy ='带入， 则得，0)(12=''--y y yx ，32232221y x y y x y y dx y d -=-=''=11、求21xxy +=的单增区间是)1,1(- 解析：2222222)1(1)1(21x x x x x y +-=+-+='令0>'y ，则12<x ，11<<-x 12、求已知⎰+=C e dx x f x 2)(，则=⋅∑==∞→)(1lim 10n kf nn k n 1-e解析：1)()()()(1lim 101010102-=+===⋅⎰⎰∑==∞→e C e dx x f dx x f n k f nx n k n13、=⎰+∞dx x x e2)(ln 11解析：1ln 1ln )(ln 1)(ln 122=-==∞++∞+∞⎰⎰ee exx d x dx x x14、由2x y =：2,1==x y 围成的图形面积为34 解析：34)31()1(212132=-=-=⎰x x dx x A15、常系数齐次线性微分方程02=+'-''y y y 的通解为x e x C C y )(21+=（21C C 为任意常数）解析：特征方程：0122=+-r r ，特征根：121==r r 通解为xe x C C y )(21+=（21C C 为任意常数）三、计算题 （本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分）16、求)sin 1ln(lim 0x e e xx x +--→解析：22lim sin 2lim )sin 1ln(1lim )sin 1ln(lim00200===+-=+-→→-→-→xx x x x e e x e e x x x xx x x x 17、设xx x y )sin 1()(+=，求)(x y 在π=x 处的微分 解析：x x x y )sin 1()(+=)sin 1ln(ln x x y +=x x x x y sin 1cos )sin 1ln(y 1+++='dx x xxxx x )sin 1](sin 1cos )sin 1[ln(dy ++++=将π=x 代入上式，得微分dx dy π-= 18、求⎰-π502cos 1dx x解析：⎰-π502cos 1dx x ⎰=π50|sin |dxx⎰⎰⎰⎰⎰+-++-+=ππππππππ43542320sin )sin sin )sin sin xdxdx x xdx dx x xdx （（π10|cos |cos |cos |cos |cos 54433220=-+-+-=πππππππππx x x x x19、求dx x ⎰arctan解析：2t x t x ==，则令，tdtdx 2=⎰2tan arc tdt td t t t tan arc tan arc 22⎰-=dt t t t t 22211tan arc +-=⎰⎰+-+-=dtt t t t 222111tan arc⎰+--=dt t t t ）（22111tan arcct t t t ++-=tan arc tan arc 2c x x x x ++-=tan arc tan arc 则原式20、dx xx x x x ⎰++-11-41cos 45）（解析：41cos x xx +为奇函数，该式不代入计算∴ 45452t x x t -=-=，则令tdt dx 21-=dt t t t )21(145132--=⎰该式⎰-=312)581dt t （ 61|)31581313=-=t t （21、已知⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0,2)(x ax x b x x f 在0=x 处可导，求b a ,解析：)(lim ,0)(lim )0()(lim )(lim 0)(0)(00=∴====∴=∴=-+-+→→→→b bx f x f f x f x f x x f x x f x x x x 处连续在处可导在)(lim )(lim 0x f x f x x '='-+→→a x ax x f x x =--+='++→→0)1ln(lim )(lim 002002lim )(lim 00=--='--→→x x x f x x 2=∴a22、求过点)1,2,1(-A 且平行于0732=-+-z y x 又与直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=t z t y t x 231相交的直线方程。
直线过点)1,2,1(-A ，因为直线平行于平面，所以n S ⊥，)1,3,2(-=n，设两条直线的交点)2,3,1(t t t P +-，所以)12,1,(-+==→t t t PA S ，所以012332=-+--t t t ，4=t ，)8,7,3(P ，所以)7,5,4(=→PA ，所以直线方程为715241-=-=+z y x 。
23、讨论13231)(23++-=x x x x f 极值和拐点解析：13231)(23++-=x x x x f（1）)(x f 的极值34)('2+-=x x x f令0)('=x f ，则3,121==x x 列表如下：所以极大值为3713231)1(=++-=f ，极小值1)3(=f （2）)(x f 的拐点42)(-=''x x f 令0)(=''x f 则2=x列表如下：拐点为⎪⎭⎫ ⎝⎛35,2。