一次函数的应用分类专题练习
知识点一：一次函数与坐标轴交点和面积问题
1：交点问题一次函数b kx y 的图象是经过（0，b ）和（-k
b
，0）两点。
【典型例题】
1．直线y=－x+2与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是2．直线y=－x －1与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是
3．函数y=x+1与x 轴交点为（）
A ．（0，-1）
B ．（1，0）
C ．（0，1）
D ．（-1，0）
4．直线y=-32
x+3与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为（
）
A ．3
B ．6
C ．
34
D ．
32
5．直线y=-2x-4交x 轴、y 轴于点A 、B ，O 为坐标原点，则S △AOB =。
6．若直线y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b 的值是。
7．如图所示，已知直线
y=kx-2经过M 点，求此直线与
x 轴交点坐标和直线与两坐标轴围成三角形的面积．
2：面积问题面积：一次函数
y=kx+b 与x 、y 轴所交的两点与原点组成的三角形的面积为
2
b k
(1)：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解。
(2)：复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）。
(3)：往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
1. 直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。
2. 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （4,3），且OA=OB
（1）求两个函数的解析式；（
2）求△AOB 的面积；
3. 已知：m x y l 2:1经过点（-3，-2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线b kx l :2
经过点（2，-2），且与y 轴交于点C （0，-3），它与x 轴交于点 D
（1）求直线21,l l 的解析式；（2）若直线1l 与2l 交于点P ，求
ACD
ACP S
S ：的值。
4. 如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，p ）在第一象限，直线PA 交y
轴于点C （0,2），直线PB 交y 轴于点D ，△AOP 的面积为6；（1）求△COP 的面积；（2）求点A 的坐标及p 的值；
（3）若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线
BD 的函数解析式。
5. 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线
l ：m x y
2
1与x 、y 轴的正半轴分别相交于点
A 、
B ，过点
C （-4，-4）画平行于y 轴的直线交直线AB 于点
D ，CD=10．
（1）求点D 的坐标和直线l 的解析式；
（2）求证：△ABC 是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l 与x 、y 轴分别相交于点
A ′、
B ′，在直
线CD 上存在点P ，使得△A ′B ′Ｐ是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点
P 的坐标．（不必书写解题
过程）
知识点二：一次函数应用题
一次函数解决实际问题的步骤：
(1)认真分析实际问题中变量之间的关系；
(2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式；(3)利用一次函数的有关知识解题。
题型1：一次函数图象的应用
例1：甲、乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，
各自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：
（1）分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写出自变
量t的取值范围）
（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；
（3）在（２）的条件下，设乙同学从A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙相遇，此时点B与山顶距离为 1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，求乙到达山顶时，甲
离山脚的距离是多少千米？
例2：为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用
电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系式．
（1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：
档次第一档第二档第三档
每月用电量x（度） 0＜x≤140
（2）小明家某月用电120度，需交电费元；
（3）求第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式；
（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电
费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值．
【同步训练】
1. 甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来
的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．（2分）
（2）求乙组加工零件总量a的值．（3分）
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间
恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？（5分）
题型2：表格信息类
例1：为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：
（1）求该市每吨水的基本价和市场价．
（2）设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式．
（3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？
例2：小明练习100米短跑，训练时间与100米短跑成绩记录如下：
（1）请你为小明的100米短跑成绩y（秒）与训练时间x（月）的关系建立函数模型；
（2）用所求出的函数解析式预测小明训练6个月的100米短跑成绩；
（3）能用所求出的函数解析式预测小明训练3年的100米短跑成绩吗？为什么？
【同步训练】
1. 湿地公园计划在园内坡地上造一片有A，B两种树的混合林，需要购买这两种树苗 2 000棵，种植A，B两种树苗的相关信息如下表：
设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元，解答下列问题：
（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式及x的取值范围．
（2）假设这批树苗种植后刚好成活1980棵，则造这片林的总费用需多少元？
题型3：实际问题中的一次函数
【典型例题】
例1：小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图2中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量桶中水面升高___________cm；
（2）求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变
量的取值范围）；
（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？
例2：如图，某花园的护栏是用直径80cm的条形刚组制而成，且每增加一个半圆形条钢，半圆护栏长度增加acm，（a＞0）设半圆形条钢的个数为x（x为正整数），护栏总长为ycm
（1）当a=60时，y与x之间的函数关系式为；
（2）若护栏总长度为3380cm，则当a=50时，所用半圆形条钢的个数为；
（3）若护栏总长度不变，则当a=60时，用了n个半圆形条钢，当a=50时用了（n+k）个半圆形条钢，请求出n，k之间的关系式．
题型4：文字信息类
例1：某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软
件公司还需支付安装调试费用200元。
（1）试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数关系式。
（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本。
例2：某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商
店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？。