(6-78) (6-79)
其闭环特征多项式H2 s可由分块矩阵的行列式恒等关系
det
A11 A21
A12 A22
detA11
det
A22 A21A111A12
(6-80)
展开为
H2 s
det sI A1* C*
B*
q
k
sIq
det
sI A1*
det sIq C*
馈矩阵，将3p q 1个 闭环极点配置在规定位置。对于n 3p的
多变量系统，利用上述方法所设计的PID控制器能任意配置全
部n q个闭环极点；对于n 3p 的多变量系统，则有n 3p 1
个极点位于未加规定的位置，与设计中所取的Q、q 有关。实际
上通常是n
3p
1个小的数目，通过重复设计
及
Q
，从而重
式(6-87)，即
kWi k1
k2
2 2
2k1
2k2
0
任取 k1 1，则k2 1，故k 1 1。闭环特征多项式由式(6-
85)给出为
H3
s
s
1
s6
2 1
p2 r2
s5
6
q2 1 r2
9r2
s4
12
9 p2 1
r2
r1
9r2
s3
5 p1 9 p2 9q2 2r1 2r2 s2 31 2 p1 2 p2 q1 9q2 s
例6-3 设能控能观测、循环的多变量受控对象动态方程为
0 1 0 0 0 0 1
0
0
1
0
0
0 0
x& 0 0 0 1 0 x 0 2 u
00Βιβλιοθήκη 0010 0
－12 －4 15 5 －3 1 1
y
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0 x
试设计PID控制器，将闭环极点配置在1, 2,3, 4, 5,1 j 。
(6-73)
uc q k z uc
(6-74)
作用于系统A1*,B*,C* ，将q－1个极点配置在希望的规定位
置，式中q 为q－1向量，k为1 q向量，uc为 p 1向量。所得闭
环系统A*2,B*,C* 为
x&* A*2x* B*uc I*v E*d
y C*x* Fd
A*2
0
为了配置极点，增广对象A*0, B*,C*应 具有能控能观测性，这就
要求原受控对象具有能控能观测性，以及矩阵
A C
B0 具有满
秩 n q ，后一条件包含着p q（即输入向量维数至少与输出向
量维数相等）及rankC q。
为了工程设计的方便，PID控制器设计通常分三步进行。 第一步：施加初始控制规律
B*
s2 3s s6 3s5 3s4 9s3 5s2 4s
s3
s
s7 3s6
2s5 6s4 9s3 12s2 2s 4s5 18s4 17s3 26s2 33s
2
式中
A*2
A
B
Q
q
k
，它将一个极点配置在规定位置
1
。
C
0
第三步：令uc pky qkz rky&，使极点 1得以保持且配置另 外3p个极位于2, 3, 4, 5, 1 j 处。为保持极点1，需满足
新设计PID控制器，能够得到满意结果。某些 n 3p 的系统，
利用PID控制器可能得不到一个稳定的闭环系统，这意味着将
需要一个更加复杂的控制器。
为配置极点所需的PID控制器也可以完全位于前向通路中，即
t
u Pe Q0 edt Re&
(6-90)
现在来考虑式(6-84)所示闭环系统的稳态特性。只要闭环系统
u Qˆ z uˆ c
(6-69)
作用于增广对象A*0,B*,C* ，Q 为任意的满秩 p q矩阵，结果得
到新的增广系统
x&* A1*x* B*uˆ c I*v E*d y C*x* Fd
(6-70)
式中A1*
A －C
BQˆ0应具有相异特征值，于是保证了A1* 是循环的。
对于系统A1*,B*,C* ，uˆ c 至 y 的传递函数矩阵G1 s为
望闭环极点位置应满足
H1
i
1
i
k
W1
i
q
0
来确定 k 。
i 1,L , q 1
第三步：以单位秩反馈控制规律
(6-82)
uc pky qkz& rky&
(6-83)
作用于系统 A*2*,B**,C** ，将其余3p个极点配置在希望位置，并
保持已配置的q－1个极点不可改变。式中p、q、r均为 p 1向量，
为了改善闭环系统的瞬态响应，可将求得的PID控制器矩
阵P、Q、R修改为P、Q、 R，这里, , 称为调谐参数。 独立地改变 ,， ,可 分别研究比例项、积分项、微分项对
瞬态响应的影响。一般情况下，通过合适地选择极点位置及 调谐参数，总能获得满意的瞬态响应。
上述PID控制器的设计方法、能满足许多实际多变量系统 的瞬态响应和稳态特性需求。
分输出反馈矩阵，其中P、R位于反馈通路中，Q 位于前向通
路中。
设计要求是：
1.闭环极点处于复平面规定位置，以满足瞬态响应需求；
2.稳态时，输出向量 y 准确跟踪指令向量 v ；
3.对于终值是常数的任意扰动d t，不影响稳态输出。
PD输出反馈可满足第一项要求，而为满足第二、三项要求，
需引入积分项。但积分项的引入将增加系统阶数，定义积分器
A
C
B
Q
q
k
0
或由式(6-67)及式(6-70)导出闭环系统为
x&** A*2*x** B**uc I**v E**d y C**x** Fd
(6-75) (6-76)
式中
x**
x*
z
，A*2*
A1*
C*
B*
q
k
，B**
0
B*
0
，
C** C*
0，I**
I*
I
，E**
置 1 处，任意选择 q 1
1r ，由式(6-82)有
H1
1
1 1
k
W1
1
q
3
k1
k2
2 －1
－1 1 2 1 3 k1 k2 0
任取 k1 1，则k2 4，故 k 1 4。所得系统传递函数矩
阵G2 s为
G2
s
W2 s H2 s
C adj det
sI A*2 sI A*2
稳定，对于阶跃指令向量vt v 1t，稳态时有z& 0 ，即稳态
输出向量y v ，其稳态误差为零。另外，对于终值为常数的
任意扰动d，也有z& 0，即 y v，故稳态时输出向量不受d
的影响。值得指出，在系统参数有大的变化而闭环系统仍能稳
定，上述稳态特性得以保持的意义上来说，PID控制具有鲁棒
性。
解 该受控对象为双输入-双输出系统， p q 2
det sI A s5 3s4 5s3 15s2 4s 12 s4 s 3 5s2 s 3 4 s 3 s 3(s 1) s 1 s 2 s 2
故不稳定。
已知 A,B,C能控能观测，且引入积分器以后的增广系统矩阵
EF* ，
A1*与A*2*具有相同的特征值1,L , q1 。
uc至y 的传递函数矩阵G2 s为
G2 s C**
sI A*2*
1 B** C*
sI A*2
1 B* W2 s H2 s
(6-77)
式中
H2 s det sI A*2 det sI A*2*
W2 s C* adj sI A*2 B* C** adj sI A*2* B**
第六章 多变量输出反馈控制和解耦控制
状态反馈控制的确是线性系统综合的有力工具，但通常需用 状态观测器解决状态变量测量问题，这并非是简单的事，而输 出变量一般是可测量的，设计人员遇到的大多数系统可用输出 量至输入的反馈信息来改善系统性能。
倒立摆稳定控制就是通过测量倒立 摆的摆杆的角度、角速度和其位移和速 度来设计稳定控制系统的。
s2 s s6 3s5 3s4 9s3 5s2
s7
s2 3s6
2s5 6s4 9s3 5s5 13s4 10s3
12s2 s 3s2 11s 1
式中
A1*
A
B Q ，
C 0
B* B0 ，
C* C* 0
第二步：令
uc
qkˆ z&
uc，将q－1个即1个极点配置在希望位
sI A1*
1
B*
q
k
sq det
sI A1*
det
Iq
1 s
C*
sI A1*
1
B*
q
k
sq det
sI A1*
1
1 s
k
C*
sI A1*
1
B*
q
sq
H1
s
1 s
k
W1
s
q
(6-81)
由于 A1* 是循环的，故可任取q 使 A1* B*q 能控，根据q－1个希
倒立摆控制 点击观看
导弹控制 点击观看
导弹的姿态控制是 通过弹上的传感器测 得导弹的姿态角和角 速度来设计稳定控制 系统。
航天器控制 点击观看
航天器的姿态控制 是通过航天器上的敏 感器测得航天器的姿 态角和角速度来设计 稳定控制系统。
基本思想：
而对于一个多变量控制系统来说，无论采用状态反馈还是输 出反馈，其反馈矩阵诸元的选择均包含了很大的自由度，为了 简单有效地配置多变量系统的极点，可以人为地限制反馈矩阵 的结构形式。