高一数学必修一函数专题：二次函数值域第一部分：计算二次函数的值域题型一：计算二次函数c bx ax x f ++=2)(在定义域R x ∈上的值域。
解法设计：第一步：计算二次函数的对称轴ab x 2-=。
第二步：第一种情况：当0>a 时：二次函数c bx ax x f ++=2)(开口向上。
二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最小值。
最大值为∞+。
第二种情况：当0<a 时：二次函数c bx ax x f ++=2)(开口向下。
二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最大值。
最小值为∞-。
例题一：已知：二次函数121)(2+-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴12121=⇒⨯--=x x 。
第二步：二次函数121)(2+-=x x x f 图像开口向上。
2111121)1()(2min =+-⨯==f x f 。
+∞=max )(x f 。
所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：),21[)(+∞∈x f 。
例题二：已知：二次函数2)(2+--=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴21)1(21-=⇒-⨯--=x x 。
第二步：二次函数2)(2+--=x x x f 图像开口向下。
49221412)21()21()21()(2max =++-=+----=-=f x f 。
-∞=min )(x f 。
所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：]49,()(-∞∈x f 。
跟踪训练一：已知：二次函数x x x f 32)(2+=。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
跟踪训练二：已知：二次函数2)(2++-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
题型二：计算二次函数c bx ax x f ++=2)(在指定范围上的值域。
解法设计：第一步：计算二次函数的对称轴ab x 2-=。
第二步：第一种情况：对称轴abx 2-=属于给定的范围。
①⇒>0a 开口向上：二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最小值； 最大值在给定的范围距离对称轴较远的边界处取得。
②⇒<0a 开口向下：二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最大值； 最小值在给定的范围距离对称轴较远的边界处取得。
第二种情况：对称轴abx 2-=不属于给定的范围。
在给定的范围的两个边界处取得两个最值。
例题一：已知：二次函数463)(2+-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在]2,0[∈x 上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数对称轴1326=⇒⨯--=x x 。
第二步：对称轴1=x 在给定范围]2,0[∈x 内。
二次函数463)(2+-=x x x f 开口向上。
141613)1()(2min =+⨯-⨯==f x f 。
给定范围]2,0[∈x 边界0到对称轴1=x 的距离为1，2到对称轴1=x 的距离为1 ⇒距离相同时，在两个边界处同时取得另一个最值。
4400)2()0()(max =+-===f f x f 。
所以：二次函数)(x f 在]2,0[∈x 上的值域：]4,1[)(∈x f 。
例题二：已知：二次函数1221)(2+--=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在]0,3(-∈x 上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数对称轴2)21(22-=⇒-⨯--=x x 。
第二步：对称轴2-=x 在给定的范围]0,3(-∈x 内。
二次函数1221)(2+--=x x x f 开口向下。
31)2(2)2(21)2()(2max =+-⨯--⨯-=-=f x f 。
给定范围]0,3(-∈x 边界3-到对称轴2-=x 的距离为1，0到对称轴2-=x 的距离为2 ⇒)(x f 在较远的0=x 处取得最小值。
1100)0()(min =+-==f x f 。
所以：二次函数)(x f 在]0,3(-∈x 上的值域：]3,1[)(∈x f 。
例题三：已知：二次函数x x x f 3)(2+-=。
计算：二次函数)(x f 在)1,1(-∈x 上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称性23)1(23=⇒-⨯-=x x 。
第二步：对称轴23=x 不在给定范围)1,1(-∈x 内。
二次函数在给定的范围)1,1(-∈x 的两个边界3-=x 和0=x 处取得两个最值。
4)1(3)1()1(2-=-⨯+--=-f 。
2131)1(2=⨯+-=f 。
较大的函数值为二次函数的最大值，较小的函数值为二次函数的最小值。
4)(min -=x f ，2)(max =x f 。
所以：二次函数)(x f 在)1,1(-∈x 上的值域：)2,4()(-∈x f 。
跟踪训练一：已知：二次函数34)(2+--=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在)0,3(-∈x 上的值域。
跟踪训练二：已知：二次函数123)(2+-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在]1,0[∈x 上的值域。
跟踪训练三：已知：二次函数x x x f 23)(2+=。
计算：二次函数)(x f 在]2,1[∈x 上的值域。
跟踪训练四：已知：二次函数342)(2++-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在)1,1[-∈x 上的值域。
第二部分：计算二次函数的值域题型一：计算函数ax c b ax x f -±-=)(在定义域上的值域。
例题一：已知：函数1221)(++-=x x x f 。
计算：函数)(x f 的值域。
本题解析：第一步：计算函数的定义域。
根据根号下的数大于等于零得到：021≥-x ，21012≤⇒≥+x x ，]21,21[21-∈⇒-≥x x 。
第二步：对函数进行平方。
22)1221()]([1221)(++-=⇒++-=x x x f x x x f 22)12(12212)21(+++⋅-⋅+-=x x x x214224122)12)(21(212)12)(21(22122++-=+-=++-=+++-+-=x x x x x x x x 。
第三步：计算二次函数142+-=x y 在定义域]21,21[-∈x 上的值域。
二次函数的对称轴0)4(20=⇒-⨯-=x x 。
对称轴0=x 在定义域]21,21[-∈x 内，二次函数142+-=x y 开口向下。
二次函数142+-=x y 的最大值在0=x 处取得：110max =+=。
定义域]21,21[-∈x 的两个边界：21-=x 到对称轴0=x 的距离为21，21=x 到对称轴0=x 的距离为21。
二次函数142+-=x y 的最小值在21-=x 和21=x 同时取得：01)21(4min 2=+-⨯-=。
所以：二次函数142+-=x y 在定义域]21,21[-∈x 上的值域为]1,0[。
第四步：计算函数1221)(++-=x x x f 的值域。
12142021140114011402222⨯≤+-≤⨯⇒≤+-≤⇒≤+-≤⇒≤+-≤x x x x 4214222221422021420222≤++-≤⇒+≤++-≤+⇒≤+-≤⇒x x x ，4)]([22142)]([222≤≤⇒++-=x f x x f 。
1221)(++-=x x x f ，021≥-x ，0)(01221012≥⇒≥++-⇒≥+x f x x x ， ]2,2[)(2)(24)]([22∈⇒≤≤⇒≤≤⇒x f x f x f 。
例题二：已知：函数x x x f --+=12)(。
计算：函数)(x f 的值域。
本题解析：第一步：计算函数的定义域。
根据根号下的数大于等于零得到：02≥+x ，201-≥⇒≥-x x ，]1,2[1-∈⇒≤x x 。
第二步：对函数进行平方。
2222)1(122)2()12()]([12)(x x x x x x x f x x x f -+-⋅+⋅-+=--+=⇒--+=32232221)1)(2(2222++---=+-+--=-+-+-+=x x x x x x x x x 。
第三步：计算二次函数22+--=x x y 在定义域]1,2[-∈x 上的值域。
二次函数对称轴：21)1(21-=⇒-⨯--=x x 。
对称轴21-=x 在定义域]1,2[-∈x 内，二次函数22+--=x x y 开口向下。
二次函数的最大值在对称轴21-=x 处取得：492)21()21(max 2=+----=。
定义域]1,2[-∈x 的两个边界：2-=x 到对称轴21-=x 的距离为23，1=x 到对称轴21-=x 的距离为23二次函数的最小值在2-=x 和1=x 处同时取得：02)2()2(m in 2=+----=。
所以：二次函数22+--=x x y 在定义域]1,2[-∈x 上的值域：]49,0[。
23222022320492049202222⨯-≥+---≥⨯-⇒≤+--≤⇒≤+--≤⇒≤+--≤x x x x x x x x 0322333322303220222≥++---≥⇒+-≥++---≥+⇒-≥+---≥⇒x x x x x x ，0)]([3322)]([222≥≥⇒++---=x f x x x f 。
x x x f --+=12)(，02≥+x ，x x x --+⇒≥-1201正负都有可能。
]3,3[)(3)(30)]([32-∈⇒-≥≥⇒≥≥x f x f x f 。
跟踪训练一：已知：函数x x x f 2232)(---=。
计算：函数)(x f 的值域。
跟踪训练二：已知：函数x x x f -++=32)(。
计算：函数)(x f 的值域。
题型二：计算函数d cx b ax x f +±+=)(在定义域上的值域。
本题解析：第一步：不带根号的一次函数变为根号下的一次函数的形式。
假设：)(2323)1(23b k kx x b kx k x b x k x ++-=+⇒+-=+⇒+-=+。
根据对应系数相等得到：3=-k ，32-=⇒=+k b k ，5)1(3235+--=+⇒=x x b 。
x x x f -++=123)(，5)1(323+--=+x x ⇒51)1(315)1(3)(2+-+--=-++--=x x x x x f 。
假设：),0[1+∞∈⇒-=t x t ，53)(2++-=t t x f 。
第二步：计算二次函数532++-=t t y 在),0[+∞∈t 上的值域。