信号与系统
§2.1 引言
信号与系统
系统数学模型的时域表示
时域分析方法：不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方 程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域 方法的基础。
输入输出描述： 一元N阶微分方程
状态变量描述： N元一阶微分方程 本章我们主要讨论输入、输出描述法。
信号与系统
强迫响应： 形式取决于外加激励。对应于特解。
暂态响应： 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间t 增加，它将消失。
稳态响应： 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。
零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。
零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于 零），由系统的外加激励信号产生的响应。
系统分析过程
列写方程：根据元件约束，网络拓扑约束
经典法 解方程： 双零法
零输入： 可利用经典法求 零状态： 利用卷积积分法求解
变换域法：主要是拉普拉斯变换
经典法：前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t) 有关的问题
有待进一步解决—— h(t)；
卷积积分法：任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)
信号与系统
利用卷积求系统的零状态响应
④ 物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的 冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的零状态响应，即：
任意信号 f (t) 可表示为冲激序列之和 f (t) f ( ) (t )d
若把它作用于冲激响应为h(t)的LTIS，则响应为
r(t) H f (t)
以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做 卷积获得。 物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存 在卷积。
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卷积定义
1．定义与物理意义 ①历史：19世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔 ②卷积与反卷积互逆
i)卷积
e(t)√ h(t)√
ii)反卷积1：系统辨识
e(t)√
h(t)?
r(t)? r(t)√
信号与系统
§2.2 微分方程的 建立
信号与系统
微分方程的列写
根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系 统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电 容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级 电压与电流的关系等等。
1/p 表示积分算子，即有
1 t • d
p
由此可以得到电阻、电感、电容的算子伏安关系：
u R i
u
L
di
dt
u
t
1 i dt
C
u R i
u pL i
u
1 pC
i
i
u R
i
1u pL
i pC u
信号与系统
微分方程的列写
例：列写 iL (t)与 v1 (t) 的微分方程。
iii)反卷积2：信号检测
e(t)?
h(t)√
r(t)√
信号与系统
卷积定义
③定义： 设有两个 函数 f1(t) f2 (t) , 积分
f (t) f1( ) f2(t )d
称为 f1(t) f2 (t) 的卷积积分，简称卷积，记为
f (t) f1(t) f2(t) 或 f (t) f1(t) f2(t)
H
f
(
) (t
)d
f ( )H (t )d
f ( )h(t )d
这就是系统的零状态响应。
rzs (t) f (t) h(t)
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卷积的计算
可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。
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§2.7 卷积
信号与系统
卷积在工程和数学上的应用：
统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。 概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度
函数是X与Y的概率密度函数的卷积。 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的
函数的卷积表示。 电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可
R1 R2 L
diL dt
1 LC
iL
R1 L
diS dt
1 LC
iS
信号与系统
微分方程的一般形式
一个线性连续LTI系统，可以用下面一般形式的微分方程来描述。
an
dn dt n
y(t)
an1
d n-1 dt n1
y(t)
a0 y(t)
bm
dm dt m
x(t) bm1
d m-1 dt m1
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，KCL，KVL。
信号与系统
微分方程的列写
例：求并联电路的端电压v(t) 与激励 is (t)间的关系。
解：电阻
1 iR (t) R v(t)
电感
iL (t)
1 L
t
v( ) d
is (t)
iR C
R iC
电容
iC
(t)
C
d v(t dt
)
根据KCL iR (t) iL (t) iC (t) iS(t)
代入上面元件伏安关系，并化简有
C
d2 v(t) dt2
1 R
d v(t) dt
1 L
v(t)

iS d
(t) t
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
L
iL v(t)
信号与系统
微分方程的列写
算子法列写电路的微分方程 用 p 表示微分算子，即有
p
d dt
,
p2
d2 dt 2
,
,
pn
dn dt n
x(t)
b0 x(t)
或者
n
ak
k 0
d k y(t) dt k
m
bk
k 0
d k x(t) dt k
信号与系统
§2.3 微分方程经典求解法
信号与系统
§2.4 起始点的跳变
信号与系统
§2.5 零输入响应和 零状态响应
信号与系统
各种系统响应定义
自由响应也：称 固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形 式无关。对应于齐次解。
is (t)
解：
Lp R2 iL
u1
R1
iS
iL
uC
u1
( 1 R1Cp
1)u1
用消元法求得。
u1
Lp2
R1Lp2 R1R2 p (R1 R2 ) p 1/ C
iS
iL
Lp2
R1 p 1/ C (R1 R2 ) p
1/ C
iS
C iL (t) L
R1 u1(t)
R2
信号与系统
微分方程的列写
即得
(
p
2
R1 R2
L
p
1 LC )u1
(R1 p2
R1R2 L
p)iS
( p2
R1
R2 L
p
1 LC )iL
( R1 p L
1 LC )iS
写成微分方程形式为
d2u1 dt 2
R1
R2 L
du1 dt
1 LC
u1
R1
d2iS dt 2
R1R2 L
diS dt
d2iL dt 2