n
(Ri R )2 Pi
i1
而期望收益
n
R Ri Pi
i 1
11
标准离差的局限
只能用来比较期望报酬率相同的各项投 资的风险程度。如果期望报酬不同，则 不能比较。
12
标准离差率
v
R
超级技术公司v=25.86%/17.5%=1.48 慢行公司v=11.5%/5.5%=2.09
13
协方差和相关系数
i 1
Corr( R A ,
RB
)
Cov(RA, RB
A B
)
15
相关系数的数值例子
16
17
协方差的涵义
在任何经济状况下，如果两个公司股票的可能 收益一般都高于或低于各自的期望收益，表明 两个公司股票的收益呈正相关关系或趋势，结 果协方差为正值。
在任何经济状况下，如果两个公司股票的可能 收益，当一个高于其期望收益，而另一个低于 其期望收益时，表明两个公司股票的收益呈负 相关关系或趋势，结果协方差为负值。
收益和风险：资本资产定价模型
1
风险资产的特征
期望收益。它是指一个持有一种资产 （证券）的投资者期望在下一个时期所 能获得的收益。
2
风险资产的特征
方差和标准差。评价资产（证券）风险 的方法有很多，其中最为常用的是方差。 方差是一种资产（证券）的收益与其平 均收益的离差的平方和的平均数。标准 差是方差的平方根。
24
组合的方差和标准差
由A和B两种证券构成的投资组合的方差
是：
投资组合的方差取决于组合中各种证券 的方差和每两种证券之间的协方差。
25
组合的方差和标准差
在证券方差给定的情况下：
➢ 如果两种证券收益之间相互关系或协方 差为正，组合的方差就上升；
➢ 如果两种证券收益之间的相互关系或协 方差为负，组合的方差就下降。
当我们不断地增加组合中证券的种数，直至无 穷时，则组合收益的方差是：
在这一特殊的组合中，当证券的种数不断增加 的时候，各种证券的方差最终完全消失。但无 论如何，各对证券的平均协方差，仍然存在。 事实上，组合收益的方差成为组合中各对证券 的平均协方差。
5
步骤（1）
计算期望收益

步骤（2，3）
分别计算每个公司的可能收益与其期望 收益的离差。
求出各个离差的平方，使得所有的离差 以平方的形式成为正数，这样这些离差 平方的和也是正数。
7
8
步骤（4）
计算每个公司离差平方和的平均数，即 方差。
9
步骤（5）
计算每个公司股票收益的标准差。
10
标准差的公式
18
完全正相关
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完全负相关
20
完全不相关
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投资组合的收益和风险
投资者应该如何选择证券以构成最佳的 投资组合呢？ 显然，投资者会追求高期望收益、低标 准差的投资组合。
22
组合的期望收益
是构成组合的各个证券的期望收益的加 权平均，其中权数为某证券在投资组合 中所占的投资比例。
23
例子
假如投资者有1 0 0美元，并决定将其中6 0美元投资于超级技术公司，4 0美元投资 于慢行公司，则这一投资组合的期望收 益是：
直线代表在两种证券的相关系数( A, B) 等于1的情况下的各种可能的组合。
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上图的特征
曲线总是位于直线的左边。
点M V代表具有最小方差的组合。
投资者只考虑从最小方差组合至超级技术这段 曲线。正因如此，从最小方差组合至超级技术 这段曲线被称为“有效集”(efficient set)或“有 效边界” (efficient frontier)。
29
问题：
组合多元化产生的效益是怎么来的呢？
• 当两个证券的相关系数为多少时，这种效益 会消失？
30
结论
31
组合的扩展——多种资产构成的组合
组合不仅可以由两个证券所构成，也可 以由多种证券所组成。
在由多种证券构成的组合中，只要组合 中两两证券的收益之间的相关系数小于1， 组合的标准差一定小于组合中各种证券 的标准差的加权平均数。
3
风险资产的特征
协方差和相关系数。各种资产（证券） 的收益之间相互关联。协方差是一个度 量两种资产（证券）收益之间相互关系 的统计指标。此外，这种相互关系也可 以用两种资产（证券）收益之间的相关 系数来反映。
4
计算标准差的数值例子
假设宏观经济将出现四种状况：萧条、衰退、 正常、繁荣，每种状态出现的可能性相同。 现有两个公司的收益预测如下：
37
38
持有证券种数超过两种的组合及其有效集
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当只有两种证券构成投资组合时，所有 的各种组合都位于一条弓型曲线之中。 不同的是，当多种证券构成投资组合时， 所有的各种组合都位于一个区域之中。
有效集是从M V到X这条曲线，它包括了 多种证券的各种组合。
40
多种资产组合的方差和标准差
矩阵的方法：假设有N种资产，我们在横 向列示1至N，又从纵向列示1至N，从而 形成一个N×N = N2的矩阵格式。
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43
44
举例分析
有如下三个假设： 组合中所有的证券具有相同的方差，定义为 所有协方差相同，定义为 所有证券在组合中的比例相同。因为组合中有 N种证券或资产，所以每种资产在组合中的比 例为1 / N。换言之，对于每种证券， Xi = 1 / N。
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组合收益的方差
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组合收益的方差
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最近1 0年期间标准普尔5 0 0指数及其一些重要 证券的标准差
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两种资产组合的有效集
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两种资产组合的有效集
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上图的特征
曲线代表着一个投资者考虑投资于由超 级技术公司的股票与慢行的股票所构成 的各种可能的组合，即面临着投资的 “机会集” (opportunity set)或“可行 集”(feasible set)。
现在，我们希望度量一种股票的收益与 另外一种股票收益的相互关系。更准确 地说，我们需要建立一种度量两个变量 之间相互关系的统计指标，这就是协方 差( c o v a r i a n c e )和相关系数( c o r r e l a t i o n )。
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协方差和相关系数
n
Cov(RA, RB ) (RA RA )( RB RB )Pi
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例子
对于超级技术公司和慢行公司来说，如 果你拥有1 0 0美元，其中6 0美元投资于 超级技术公司，XA = 0.6 ；4 0美元投资于 慢行公司，XB = 0.4。这一投资组合的方 差是：
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投资组合的标准差：
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投资组合多元化的效应
对于由A和B两种证券构成的投资组合，
可见，组合的标准差小于组合中各个证 券标准差的加权平均数。这就是组合多 元化的效益。