第一章 薛定谔方程
§1.1.波函数及其物理意义
1. 波函数： 用波函数描述微观客体的运动状态。

例：一维自由粒子的波函数
推广 ：三维自由粒子波函数
2. 波函数的强度——模的平方
3. 波函数的统计解释
用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。

t 时刻，出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。

t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的概率。

t 时刻，粒子在空间分布的概率密度
4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1
标准条件：一般情况下，
有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。

对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾
§1.2. 薛定谔方程
是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。

1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
非相对论考虑
2. 一维定态薛定谔方程
2
|),,,(|t z y x ψ1d d d d d ||2===⋅=ψ⎰⎰⎰N N N N V V N N V V V .
是单值、有限、连续的ψ0)(2d )(d 222=ψ+ψx mE x x
0)()(2d )(d 222=ψ-+ψx U E m x x
3. 三维定态薛定谔方程
4. 一般形式薛定谔方程
5. 多粒子体系的薛定谔方程
讨论：
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U 中粒子状态随时间的变化规律。

2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。

薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。

3、薛定谔方程是线性方程。

是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。

4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。

5、薛定谔方程是非相对论的方程。

量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。

求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U (r )的形式代入方程
2. 用分离变量法求解
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数
4. 讨论解的物理意义，
薛定谔的另一伟大科学贡献
《What is life ？》
薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖
定态薛定谔方程
一．定态薛定谔方程条件：V （r,t ）=V(r)， 与t 无关。

用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：
此称定态薛定谔方程
整个定态波函数形式：
),,,(),,,()],,,(2[),,,(2121212221t r r t r r V t r r m t r r t i i
i i ψ+ψ∇-=ψ∂∂∑)t (Ef t
)t (f i =∂∂ Et i ce )t (f -=)r (E )r ()r (V )r (m
ϕ=ϕ+ϕ∇-222Et i
e )r ( -ϕ=ψ
特点：
A.波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；
B．时间部分函数是确定的。

定态波函数几率密度W与t无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。

重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。

二、本征方程、本征函数与本征值
算符本征方程：λ：本征值，有多个，甚至无穷多个。

ψλ：本征值为λ的
本征函数。

也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。

若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。

三、定态情况下的薛定谔方程一般解
说明：1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值（energy eigenvalue），而相应的解称为能量的本征函数（energy eigenfunction）。

2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是收恒量，可用分离变量。

3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。

§1.3 一维无限深势阱
一、一维势阱实例
如：金属中的自由电子。

金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。

总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。

二、微分方程
三、一维无限深势阱求解
四、宇称
§1.4 一维线性谐振子
什么叫谐振子？弹簧振动、单摆就是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。

比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。

双原子分子的振动可化为谐振子。

这节介绍求解线性谐振子（一维）的定态薛定谔方程，解出波函数与能量，并作些讨论.
三．谐振子的几率分布
结论：1. 在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也是量子效应。

2．从前几个波函数曲线看，量子与经典没有什么相似，但当n很大时，量子的平均结果与经典曲线相似。

4.熟记有关结论。

四、S维各项同性谐振子
五、位移谐振子
六、耦合谐振子（对角化解耦）
Summary:
1、由于谐振子势具有空间反射不变性，按定理3的推论，必有确定的宇称。

可证：
2、基态：能量：并不为零，称为零点能（zero-point energy）。

是微观粒子的波动-粒子两重性的表现。

处于基态的谐振子在空间的概率分布是一个高斯型分布，在原点处找到粒子的概率最大。

按经典力学的观点，基态谐振子只允许在的区域中运动，而属于经典禁区，但按照量子力学中波函数的统计诠释，粒子有一定概率处于经典禁区（量子效应），可以计算此概率（考研究生题）。

3、能量本征值随量子数n的变化不但是断续的，而且是等间距的，间距只和振子的固有频率有关。

4、“能量量子化”和“零点能存在”是量子振子能量不同于经典振子能谱的两大特点。

均是波动性的体现。

5、熟练掌握本节内容。

6、“突然近似”，谐振子：k突然变成2k；无限势阱：a突然变成2a。

§1.5 隧道效应
势垒贯穿－能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒。

例：势垒贯穿现象—金属电子的热发射-电子有冷发射：如果给金属加上一个外电场（约1000000V/CM），使金属成为阴极，则该电场会使电子释放出来而形成电流，这种现象叫金属电子的冷发射。

应用:
1973年:固体中的隧道效应,
半导体中的隧道效应.
约朔夫森, 江琦, 迦埃非.1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道效应显微镜.
鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).
1997年：量子隧道效应。

经典物理无法理解势垒贯穿。

∵E＝T＋V，T＝E－V＜0，不可能,本节介绍量子力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。

一、一维方势垒
二、求解
三、势垒贯穿几率
讨论:
1.经典:E<U0 时, 无反射.
(1)量子力学:有反射.
(2)共振透射, 研究D, D max=1条件:
于是D就发生振荡,叫做共振透射.
(3) 都有反射和透射.
2. E<U0 (隧道效应).
用于基因突变率的计算.
(1)D与U0, E, a有关;
(2)隧道效应;
a=1 埃 D 0.1
a=2埃 D 0.0012
a=5埃 D 0.0000017
a=10埃 D 0.00000000003
习题: (1) 2.8,
(2) 剖析：p34或曾书p43。

2.3. 求动能为E的粒子对势垒的投射系数。

第二章波函数和薛定谔方程（小结）
一.波函数统计解释
二.态迭加原理
三.薛定谔方程
四.粒子流密度和粒子数守恒定律
五.定态薛定谔方程
六.一维无限深势阱
七.线性谐振子
八.势垒贯穿
几个概念：波函数，宇称，定态，简并，
束缚态，量子化，零点能，隧道效应，
数学：厄米方程，厄米方程多项式势垒。

超越方程曾书p34，一维有限深势阱。