此外，在多电子原子体系中我们知道：E3d > E3p > E3s。即n值一定
时，角量子数l越大，轨道的能级越高。
也就是说，在多电子原子中主量子数n和角量子数l一起决定电子的 能级。
3.磁量子数 m
数m至少有如下几个方面的意义。
取值由角量子 数限制
通过求解Φ方程得到了量子数 m = 0，±1，±2，„ ±l，磁量子
= Eψ
ψn,l,m = Rn,l(r) Yl,m(θ,φ） = R(r)Θ(θ)Φ(φ) Z2 En = - 2 ³13.6(eV) n
n = 1，2，3，„ I = 0，1，2，„ m = 0，±1，±2 „
通过求解原子的薛定谔方程，只 能得到n、l、m三个量子数。
一、量子数
quantum number
∫ ∫
∞
r= 0
Rn,l(r)•Yl,m(θ,φ)
2
r2sinθdrdθdφ
由于Rn,l(r)是归一化的。即：
∞ r= 0
Rn,l(r)2r2dr = 1
则：
∫
∞
r =0
Rn,l(r)•Yl,m(θ,φ)
2
r2sinθdrdθdφ =∫Y2l,m(θ,φ) dΩ
=∫Y2l,m (θ,φ) sinθdθdφ 位立体角 dΩ 内出现的概率。
1.主量子数 n
通过求解R方程，我们得到了量子数 n = 1，2，3，„ ，从其与体
系的能级、状态的关系来看，量子数n至少有如下几个方面的意义。
⑴决定体系能量的大小 1 En = - 2 n Z2 Z2 e2 = - 13.6 2 (eV) 2a0 n
（氢原子或类氢离子）
体系的能量取决于量子数 n，与 n2 成反比；n 的取值越大，体系
2sinθdθ=（1/2）1/2 ∫ Θ θ=0
π
2π
则：
∫ φ=0
于是：
2π
Φ2 d φ∫ Θ2sinθdθ=（1/4π）1/2 θ=0
π
ψns =(1/4π)1/2²Rn,l(r)
R2n,l(r) = 4π²ψ2ns
即： D(r) = r2 [Rn,l(r)]2 = 4πr2[ψns(r)]2
⑵钻穿效应
fz3
z
z
z
x
+
+ -
- + + - z2)
+ y x +
fxyz
+ + -
y
x
-
++ +
+ -
y
-
+
+
y
fz(x2
fz(x2
– 3y2)
fy(3x2
+
x
+
– y2)
2.角度分布函数
所谓角度分布函数，是用波函数 Y2l,m(θ,φ)表征电子在角轨道中
分布的概率密度。 由∣ψ∣2 dτ——概率（出现在体积元dτ中的概率）可知：
z z x
+
y x y
角节面
z
pz轨道
x
y
l = 1， m = 0
l = 1， m = 1
⑶ d 轨道
l = 2 的轨道称为 d 轨道，m = 0，±1，±2(5个简并轨道)。d 随
角度变化比 p 轨道复杂的多，分别有 2 个角节面。
例如： z x z
+
y x
+
-
+
dyz轨道
l = 2，m = -1
3p轨道的径向节面数 = 1（总节面数 = 2）
2.角量子数 l
通过求解Θ方程得到了量子数 l = 0，1，2，„ n - 1 ，角量子
数 l 至少有如下几个方面的意义。
取值由主量子 数限制
⑴决定轨道角动量的大小 M= l(l+1) ħ h 2π
=[l(l+1)]1/2
M2 = l(l+1)ħ2
体系的轨道角动量取决于量子数l，体系轨道角动量轨道角动量平
D(r)
1s
2s 3s
2a0
4a0
6a0
8a0
10a0
12a0
14a0 16a0
18a0
r
1s轨道电子云径向分布D(r)在 r = a0 = 0.529³10-10 m (氢原子的
波尔半径)处有极大值。
对于 2s 轨道和 3s 轨道，其电子云径向分布的最高峰随 n的增大 而远离原子核。 但它们的次级峰、亚次级峰出现在距核较近周围的空间。即：各轨 道间产生了相互渗透现象。这种现象称为钻穿效应。
方等于l(l + 1)；量子数 l 越大，体系轨道的角动量及角动量的平方 越大，故称其为角量子数(azimuthal quantum number) 。
⑵决定轨道的形状
角量子数(azimuthal quantum number) 决定原子轨道或电子云的形 状。 例如：
l =
0(s)
1(p)
2(d)
三、轨道径向函数
Radial Function of Orbit
1.径向波函数 2Z (n-l-1)! 2l+1 3 1/2 ρ/2 l Rn,l(r)= -{( nα ) } e ρ L n+1 (ρ) 3 0 2n[(n+l)!]
径向波函数 Rn,l(r)是反映在任意给定角度方向上，波函数随 r 变化 的情况。 波函数的径向分布节面（即：Rn,l(r)= 0）数为 n - l- 1。 Rn,l(r)
⑴ s 轨道
l = 0 的轨道称为 s 轨道。s轨 道与角度无关，呈“球”状，为各向 同性，无角节面。
z + y x +
z y
⑵ p 轨道 m = 0，±1
l = 1 的轨道称为 p 轨道。p 轨道在空间有三个取向。即：
p 轨道呈“双球”状，轨道在空间的特定轴—极轴上振幅最大，角节 面通过原点垂直极轴。
Rn,l(r)
Rn,l(r)
Rn,l(r)
Rn,l(r)
Rn,l(r)
1s 2p
2s 3p
3s 4p
+ +
rr
++
-
-
rr
++
-
-
+ +
r r
2.径向分布函数 ⑴径向分布函数 D(r)= r2[ Rn,l(r)]2
电子出现的概率。
D(r)= 4πr2 R2n,l
——“教材”P38
Why？
径向分布函数 D(r)表示，在半径为r的球面附近单位厚度球壳中 我们知道，电子出现在空间某点(r，θ，φ)附近体积元 dτ内出 现的概率为： |ψ(r，θ，φ)|2 dτ = |ψ(r，θ，φ)|2r2sinθdr dθdφ 则：
例如：
z y x s m = 0 z y z y x pz m = 0 x z y
x
px m = 1
py m = - 1
光谱实验证实，在磁场中，相同主量子数和角量子数的原子轨道 还能发生分裂，显示出微小的能量差别。
二、轨道角函数
Angular Function of Orbit
1.轨道的角度波函数
出现在距核较近区域的概率愈小。
R2n,l 1s 2s 3s 1s 2s 3s
r
⑶决定波函数的径向节面数和总节面数
波函数的节面有径向节面和角度节面两种。即：
Rn,l
Rn,l
径向节面
径向节面数
z
角节面
角节面数 = l
+
y
1s + r +
2s r
= n - l -1
x
pz轨道
总节面数 = n - 1（个） = 径向节面数 + 角节面数 径向节面数 = n - l - 1（个） 例如：1s轨道的无节面（总节面数 = 0） 4s轨道的径向节面数 = 3（总节面数 = 3）
D(r) 2s 2p 2a0 4a0 6a0 8a0 10a0 12a0 14a0 16a0 18a0
r
从2s轨道和2p轨道的电子云的径向分布图来看，2s 轨道的第一个峰
比2p轨道的第一个峰距核更近（2s 轨道比2p轨道钻得更深）。进而比较
其它轨道，我们不难得出： 当 n 相同时，l 越小的轨道，其第一个峰钻得越深。（例如：3p轨 道比3d轨道钻得更深） 镧系收缩 镧(La) 而逐渐减小。 镥(Lu)，其原子半径（或离子半径）随原子系数的增加
y
问题思考与练习
2-3 4s轨道和4d轨道的角节面数、径向节面数和总节面数各是多少？ 2-4 分析 dx2-y2 轨道及 fz3 轨道的角节面数各是多少？分别在何方向？ 2-5 证明，角量子数是决定轨道角动量的大小的量子数。 2-6 证明，磁量子数是决定轨道角动量在Z（磁）方向分量的大小的量 子数。
2 2 D(r)dr =∫ φ=0∫ θ=0 |ψ(r，θ，φ)| r sinθdr dθdφ
2π
π
2 2 2 2 =∫ φ=0 Φ dφ∫ θ=0 Θ sinθdθ²R r dr
2π
π
归一性
= r2 R2 dr
资料卡片
对D(r)= 4πr2 R2n,l 的解释 对于ns轨道而言
∫ Φ2 dφ=（1/2π）1/2 φ=0
第二节 对薛定谔方程解的讨论
Discussion of result for Schrödinger equation
一、量子数 二、轨道角函数 三、轨道径向函数 四、轨道能级
上节通过对氢原子薛定谔方程的讨论，我们得到了氢原子或类氢离 子（核外电子）的波函数和体系的能级。即：
>
Hψ= Eψ