近世代数一、单项选择题A⋂=（）1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则BA、{1，2，3，4}B、{2，3，6，7}C、2AC3A、C4A、B、5、设是从A到B的（）A、单射B、满射C、一一映射D、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（）A、有限B、无限C 、为零D 、为1答案：A7、整环（域）的特征为（）A 、素数B 、无限C 、有限D 、或素数或无限答案：D8、若S 是半群,则()A C 9A 、C 、10A 、C 、11A B 、A 1C 、n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
答案：B12、指出下列那些运算是二元运算（）A 、在整数集Z 上，abb a b a += ；B 、在有理数集Q 上，ab b a = ；C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ；D 、在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
答案：D13、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（）A C 14() ,G A 、015A 、bc 16（）A 、61721A 、f 的同态核是1G 的不变子群；B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；C 、1G 的子群的象是2G 的子群；D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。
答案：D18、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（）A 、若a 是零元，则b 是零元；B 、若a 是单位元，则b 是单位元；C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子；D 、若2R 是不交换的，则1R 不交换。
答案：C19、下列正确的命题是（）AC 20A 、(E C 、(I :12、设答：3．设21Rl l 答：是4、设群G 中的元素a 的阶为m ，则e a n =的充要条件是（）。
答：n m5、群G 的非空子集H 作成G 的一个子群的充要条件是（）。
答：,,H b a ∈∀有H ab ∈-16、n 次对称群n S 的阶是（）。
答：!n7、设G 是有限群，H 是G 的子群，且H 在G 中的指数为n ，则=G （）。
答：H n8、设G 是一个群,e 是G 的单位元，若,G a ∈且a=a,则（）答：910答：｛11答：⊆121314、n 答：G 15答：n16、如果环R 的乘法满足交换律，即,a b R ∀∈，有ab ba =，则称R 为（）环答：交换环17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（）环。
答：数环18、设有限域F 的阶为81，则的特征=p （）。
答：319、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（）。
答：2520、一个有单位元的无零因子（）称为整环。
答：交换环a 是一个国际标准书号，那么=a （）。
答：22.答：23答：24、6答：26答：27答：({28答：a 29。
答：φ31、凯莱定理说：任一个子群都同一个（）同构。
答：变换群32、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π（）。
答：()1352433、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为（）。
答：R y x ay x i i i i ∈∑,,34、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么IR 是一个域当且仅当I 是（）。
答：一个最大理想35、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果（）。
答：p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子36、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果（）。
答：E 1、设2、设3456、群789、(F 10)p 是由素四、解答题1、A={数学系的全体学生}，规定关系R ：同在一个班级与b a aRb A b a ⇔∈,,，证明R 是A 的一个等价关系。
答案：自反性：自己与自己显然在同一个班级对称性：若a 与b 同在一个班级,显然b 与a 同在一个班级传递性：若a 与b 同在一个班级,b 与c 同在一个班级,显然a 与c 同在一个班级.2、在R 中的代数运算 是否满足结合率和交换率？（等式右边指的是普通数的运算）答：因为对于R c b a ∈∀,,，有()()c ab b a c b a ++=()()c ab b a c ab b a ++++++=abc bc ac c ab b a ++++++=，根据实数的加法与乘法的运算率得()()c b a c b a =。
又a3,,,()()A B A B A B A B B A ---。
{}{,,,,,B c d A B a b c d ==4、设()()()()()({,123,23,13,12,13==S ，()(){}12,1=H ，求G 关于子群H 的左陪集分解。
答：(H H ==)12(1，(()(){}123,13)123(==H H ，(H G =5 若S 还有单位元1e ，则11e ee e ==，故e 是S 的唯一单位元。
6、对于下面给出的Z 到Z 的映射,,f g h计算,,,,f g g f g h h g f g h 。
答案：7、设H 是G 的不变子群，则G a ∈∀，有H aHa =-1。
ab b a b a ++=答：因H 是G 的不变子群，故对于G a ∈∀，有Ha aH =，于是()()()H He aa H a Ha a aH aHa =====----1111。
8、设0是环R 的零元，则对于R a ∈∀，000=⋅=⋅a a 。
答：因为R a ∈，有a a a a ⋅+⋅=⋅+=⋅00)00(0，由于R 0=。
同理可得a 9，则G 是答：∀'a ，使得a a -'10当≠a 00⋅==⋅a b a ，左消去a 得0=b ，即R 中非零元均不是左零因子，故R 为无零因子。
11、若21,I I 是R 的两个理想，则{}22112121,I x I x x x I I ∈∈+=+也是R 的一个理想。
答：R r I I y x ∈∀+∈∀,,21，则有2121,y y y x x x +=+=，),;,(222111I y x I y x ∈∈，从而212211)()(I I y x y x y x +∈-+-=-；212121)(I I rx rx x x r rx +∈+=+=；212121)(I I r x r x r x x xr +∈+=+=。
所以，21I I +是R 的一个理想。
12、设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3==S G ,)}12(),1{(=H ,则H 是G 的一个子群，写出G 关于HH )13(H )23(13又21 14 答：())23(13H H H G =。
15、设S 是有单位元e 的半群，S a ∈，若a 有左逆元1a ，又有右逆元2a ，则a 是可逆元，且21a a =是a 的唯一的逆元。
答：证明由条件知，,,21e aa e a a ==则有()(),11212122a e a aa a a a a ea a =====若c b ,都是a 的逆元，同理有()()c ec c ba ac b be b =====故a 有唯一的逆元。
16、设R 是环，则R b a ∈∀,，有)()()(ab b a b a -=-=-。
答：由00)()(=⋅=+-=+-b b a a ab b a ，得b a ab )()(-=-，17aha -1ha ∈∀ha a -118中有解。
b ax =和b ya =(b a a -1即1-b a 充分性。
因G 是半群，则是非空集合，取定G a ∈，则方程a ya =在G 中有解e ，即存在G 中的元素e ，使得a ea =。
下证e 是G 的左单位元。
G b a ∈∀,，方程b ax =和在G 中有解c ，即b ac =，于是()()b ac c ea ac e eb ====，则e 是G 的一个左单位元。
又G a ∈∀，方程e ya =在G 中有解'a ，即e a a ='，得'a 是a 的一个左逆元。
从而得G 中的每一个元素a 都有左逆元。
故G 是群。
19、证明R 为无零因子环的充分必要条件是在环R 中关于乘法右消去律成立。
答：设环R 没有左零因子，则也无右左零因子。
于是由ca ba =，得a cb ca ba )(-=-，当0≠a 时，由于R 没有右零因子，得0=-c b ，即c b =，R 中关于乘法右消去律成立。
b20答：（即a -（2）a I ra ∈。
因此a I 21、G 规定结合法“”a b =,)是一个群。
""为G 的一个二元运算显然，设=(2)2(2)()a c a b c a b c +-+-+-=。
G 中结合法""满足结合律。
又2∈ ，易知2是(,)G 的单位元。
a G ∀∈，直接验算得4-)中的逆元。
所以(,)是一个群。
22、设G 是非Abel 群，证明存在非单位元a,b ，a ≠b 使ab=ba 。
证：利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。
但要求元素和它的逆（幂）不等。
由于G 是非Abel 群，必有阶数大于2的元素a ，因而a ≠a -1，取b=a -1，则ab=ba 。
23、设H ≤G ，a,b ∈G ，证明以下命题等价：（1）a-1b∈H,(2)b∈aH,(3)aH=bH,(4)aH∩bH≠?。
证本题主要熟悉陪集性质。
用循环证法。
（1）=>（2）：a-1b∈H=>a-1b=h=>b=ah=>b∈aH。
（2）=>（3）：b∈aH=>bh∈aH=>bH属于aH，另一方面，-1（3）（4）24252627Z则必含Z。