0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
27
对数正态分布概率密度
高分辨率雷达杂波分布
27
1.4多维随机变量及其分布
•二维分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义
F ( x, y) P{ X x, Y y}
为二维随机变量的的分布函数。
y
( x, y )
随机信号分析与处理
张文明
国防科技大学电子科学与工程学院
1
1
2
张文明，博士，综合信息系统研究所副教授。 主要研究方向为雷达数据处理、电子系统仿真。 办公室：实验大楼308 电话：73491－602
2
1、课程学习的必要性
从课程研究的对象分析 根据信号的取值是否确定，可以将信号分为确定信号和随 机信号。
•定义 X(e)的随机性在e中体现，对应不同的e， X(e)的取值不同
•设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k 1,...,n) ，其概率为
P( X xk ) pk
X pk
19
(k 1,2,....,n)
x2
p2
... ...
x1
p1
xn
pn
离散随机变量概率分布
19
•(0,1)分布 随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为
10
12
瑞利分布概率密度＝2
25
指数分布（Exponential）
e x， x 0 f ( x) 0， x 0
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3
4
5
6
7
26
指数分布概率密度
26
对数正态分布（LogNormal）
为尺度参数 为形状参数
( Inx ) 2 1 f ( x) exp U ( x) 2 2 2 x
(0 m n)
X ~ B(n, p)
•泊松分布(Poisson distribution)
20
P( X k )
k e
k!
k 0,1,...
0
X ~ P( )
20
1.3 随机变量分布函数与概率密度
•分布函数 (CDF) 设X为随机变量，x为实数，定义 F(x)=P(Xx) 为X的概率分 布函数，简称分布函数。 •分布函数性质
f ( x)dx 1
随机变量落入( x1 , x2 ) 的概率
x2 x1
P{x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) f ( x)dx
23
•常见概率分布 正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布
( x ) 2 f ( x) exp 2 2 2 1
2随机过程的基本概念 8学 7检测理论及噪声中 11学时 时 信号检测
3随机过程的线性变换 8学 时 8估计理论 11学时
13
4随机过程的非线性变 4学 习题课＋复习 10学时 换 时 • 如果研究单次试验的结果，表现为确定性的形式； 5窄带正态随机过程 8学 实验课 8学时 • 若关心平均特性，结果表现为随机或概率形式。 时
y
y2
x
0
28
y1
0
x
x1
x2
28
二维分布函数图解
二维随机变量落在某一区域的概率
•二维分布函数性质
0 F ( x, y) 1
F (, y) 0 F ( x,) 0
F ( x, ) FX ( x)
F (,) 0 F (, ) 1
边缘（Marginal）分布
F ( x2 ) F ( x1 ) 0
0 F ( x) 1
x 2 x1
P( X x) 1 F ( x)
右连续
F ( x ) F ( x)
21
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
3
-5
0
50
100
150
200
接收机噪声波形
3
随处可见的随机问题
•彩票问题 •股票问题 •世界杯预测 •天气预报 •器件使用寿命 •出租车等待时间 等
24
0 -4
标准正态分布函数
24
N(0,1)正态分布概率密度
瑞利分布（Rayleigh）
x x2 2 exp 2 ， x 0 f ( x) 2 0， x0
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
25
0 0
2
4
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
P{X 1} p, P{X 0} 1 p (0 p 1)
•二项分布 (Binomial distribution) •设随机试验E只有两种可能的结果 A 和 A ，且
P( A) p, P( A) 1 p q
那么在n次试验中事件A发生m次的概率为：
m m n m Pn ( X m) Cn p q
f ( x, y) f X ( x) f Y ( y)
31
称随机变量X，Y独立
31
4
4
确定性与随机性问题
v
O
B
x
d
v2 d sin 2 g
•
5
如果研究单次试验的结果，表现为确定性的形式； 若关心平均特性，结果表现为随机或概率形式。
5
•
例 1 ：通信系统中的随机信号
移动通信
卫星通信
噪 声 信 源
6
发送设备
信 道 传 输
信
接收设备
宿
通信系统模型
6
例2：雷达系统中的检测与估计
13
14
军网网址：http://www.gfkd.mtn
14
评估方法
测试与平时成绩相结合
笔试：70% 作业：10% 实验：20% 考试时间：7.15晚
15
15
4、历史回顾（一）
•17～19世纪，贝努里(Bernoulli)、拉普拉斯 (Laplace)、马尔可夫(Markov)等数学家促进随机数学 的发展； •1933年苏联科学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)发表的 《概率论的基本概念》建立的随机数学的数学基础； •由维纳将随机过程和数理统计的观点引入通信、雷达 和控制中，建立了维纳滤波理论。 •1943年诺斯（North）的匹配滤波器理论； •1958年达尔波－鲁特(Davenport-Root)与李(Lee)的随 机信号分析等。
干扰 目标
气象杂波
目标回波
雷达
地杂波
内部噪声
7
影响雷达检测目标的因素
Radar： Radio Detection And Ranging
7
例3： 雷达目标识别
8
8
随机信号分析与处理可以说是在概率论的基础上
发展起来的。随着电子技术和通信技术的发展．在消息
传输与处理领域中，概率论、数理统计和信号理论相结 合，逐渐形成了一个理论分支，即随机信号的分析与处
22
F ( x) piU ( x xi )
i
x
22
•概率密度 (PDF) 随机变量X的分布函数的导数定义为它的概率分布密度，简 称为概率密度或分布密度，记为 f ( x) 。
dF ( x ) f ( x) dx
•概率密度性质
f ( x)
f ( x) 0
0
x1
x2
x

23


F (, y) FY ( y)
29
由二维分布函数可以求出一维分布函数
29
•二维概率密度
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
• 性质
f ( x, y) 0
F ( x, y)
x

y
f ( x, y)dxdy
f X ( x) f ( x, y)dy
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
X ~ N ( , 2 )
FX ( x)
x

( x ) 2 1 exp dx 2 2 2
( x)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x

x2 1 exp dx 2 2
11
2、课程学习的指导思想
建立有关随机问题的思维方法和应有的 知识水平；
初步具有描述和分析研究应用中随机问
题模型和统计特性的能力； 掌握信号检测与估计的基本方法；
建立进一步学习系统理论和阅读文献资
料关于随机过程分析与处理的必要背景知 识。
12
12
3、课程学习内容及安排
1随机变量基础 6学 6马尔可夫与泊松过 时 程 6学时
16
16
历史回顾（二）
•20世纪60年代初的卡尔曼(Kalman)滤波理论； •20世纪60年代中期休伯(P．J．Huber)提出鲁棒检测、鲁 棒估计和鲁棒滤波； •1967年伯格(Burg)提出最大熵谱分析法，谱估计进入现代 谱估计理论。 •非线性检测与估计问题； •1967年威得罗(B.Widrow)提出自适应滤波； •赫尔斯特朗(C.W.Helstrom)于1976年奠定的量子理论。