韦达定理及其应用【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。

国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。

消息传开，数学界为之震惊。

同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。

你能利用韦达定理解决下面的问题吗？已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求(221ab ba++)2004的值。

解析由①知1+21a-21a=0,即(1a)2-2·1a-1 =0,③由②知(b2)2-2b2-1=0,④∴1a,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根.由韦达定理,得1a+b2=2,1a·b2=-1.∴221ab ba++=[(1a+b2)+2ba]2004=(2-1)2004=1.点评本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,•难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.【知识延伸】例1已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为714,求a的值.解析 设方程的两实根为x 1,x 2,根据韦达定理,有 1212,221.2a x x a x x ⎧+=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩于是,x 2212x x +=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2=(-2a )2-2·212a -+=14（a 2+8a -4）依题设,得14(a 2+8a -4)=714.解得a=-11或3.注意到x 1,x 2•为方程的两个实数根,则△≥0,但a=-11时,△=(-11)2+16×(-11)-8=-63<0; a=3时,△=32-4×2×(-6+1)=49>0, 故a=3. 点评韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式△≥0,本题容易忽视的就是求出a 的值后,没有考虑a 的值满足△≥0这一前提条件.例2 已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0,求:(1)m 为何值时,•方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m 为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m 为何值时,•方程的两个根一个大于1,另一个小于1.解析 (1)据题意知,m 应当满足条件 21244(2)0,20.m m x x m ⎧∆=-+>⎨=+<⎩即 (1)(1)0,2.m m m -+>⎧⎨<-⎩由①,得m>2或m<-1, ∴m<-2.(2)m 应当满足的条件是2121244(2)0,20,20.m m x x m x x m ⎧∆=-+≥⎪+=->⎨⎪=+>⎩即21,0,2.m m m m ≥≤-⎧⎪<⎨⎪>-⎩或∴-2<m<-1.(3)m 应当满足的条件是21244(2)0,(1)(1)0.m m x x ⎧∆=-+>⎨--<⎩即21,2(2)10.m m m m ><-⎧⎨+--+<⎩或∴21,1.m m m ><-⎧⎨<-⎩或∴m<-1.点评若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解.【好题妙解】佳题新题品味例 已知△ABC 的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b 为正整数,若a 2+b 2+c 2=84,求b 的值.解析 依题设,有 a+c=2b, ① a 2+b 2+c 2=84. ②②可变为(a +c)+2-2ac=84-b 2, ③ ①代入③,得 ac=25842b -, ④∴a 、c 是关于x 的一元二次方程x 2-2bx+25842b -=0的两个不相等的正实数根.222584440,25840.2b b b ⎧-∆=-⨯>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩即16<b2<28.又b为正整数,故b=5. 点评韦达定理的逆定理是:如果x1,x2满足x1+x2=-ba，x1·x2=ca,那么x1·x2•是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a2+b2+c2=84•转变为ac=25842b,从而构造韦达定理逆定理所需的条件.中考真题欣赏例1(2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,•y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,.解析∵关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,∴△=(4b)2-4×4×7b=0,即b2-7b=0.∴b1=0,b2=7.当b=0时,,关于y的方程化为y2+2y+4=0,因△=4-16=-12<0,方程无解.当b=7时,关于y的方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=4,y2=1.∴y2-3y+2=0.点评本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视.例2(2001年四川省)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0•的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;•若不能同号,请说明理由.解析∵关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根,∴△=[4(m-1)]2-4×4m2=-32m+16≥0,∴m≤1 2 .又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根.∴x 1+x 2=-(m-1),x 1·x 2=14m 2假设x 1,x 2同号,则有两种可能: ①若x 1>0,x 2>0,则12120,0.x x x x +>⎧⎨>⎩ 即2(1)0,10.4m m -->⎧⎪⎨>⎪⎩∴m<1且m≠0,此时,m≤12且m≠0;②若x 1<0,x 2<0则有12120,0.x x x x +<⎧⎨>⎩ 即2(1)0,10.4m m --<⎧⎪⎨>⎪⎩而m≤12时方程才有实数根,∴ 此种情况不可能.综上所述,当m 的取值范围为m≤12且m≠0时,方程的两实根同号.点评存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,•反之则存在.竞赛样题展示例 (1998年江苏初中数学竞赛题)求满足如下条件的所有k 值:使关于x •的方程kx 2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.解析 (1)当k=0时,方程为x -1=0,有整数根1;(2)当k ≠0时,所给方程是一元二次方程,设该方程两整数根为x 1,x 2,则 1212111,111.k x x k k k x x k k +⎧+=-=--⎪⎪⎨-⎪==-⎪⎩由①-②,得x 1+x 2-x 1·x 2=-2, 即(x 1-1)(x 2-1)=3. ∵x 1,x 2为整数,∴1211,13,x x -=⎧⎨-=⎩或1211,13,x x -=-⎧⎨-=-⎩或1213,11,x x -=⎧⎨-=⎩或1213,1 1.x x -=-⎧⎨-=-⎩解得122,4,x x =⎧⎨=⎩或120,2,x x =⎧⎨=-⎩或124,2,x x =⎧⎨=⎩或122,0.x x =-⎧⎨=⎩代入①得k= -17或k=1.又∵△=(k+1)2-4k(k -1)=-3k 2+6k+1,当k= -17,k=1时都大于0.∴满足条件的k 值为k=0或k= -17或k=1.点评注意到方程二次项系数是参变数k 所以方程可能是一次方程,也可能是二次方程应分别讨论.求参数时,通常由根与系数的关系列出关于k 的式子,消去k,然后因式分解及因数分解求出整数根,从而求参数k.全能训练A 卷1.已知方程x 2+3x+m=0的两根之差为5,求m 的值.2.已知x 1,x 2是方程3x 2-mx-2=0的两个根,且11x +21x =3,求3312x x +的值.3.已知方程x2-4x+2-k2=0,且k≠0,不解方程证明:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)一个根大于1,另一根小于1.4.利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两根分别比方程3x2+2x-3=0的两个根的平方多1.5.关于x的方程x2-4nx-3n-1=0 ①,x2-(2n+3)x-8n2+2=0 ②,若方程①的两根的平方和等于方程②的一个整数根,求n的值.6.若a2+11a+16=0,b2+11b+16=0,A 卷答案 1.-4 2.-12∵x 1、x 2为方程3x 2-mx-2=0的两根,∴x 1+x 2=3m ,x 1·x 2=-23而11x +21x =3,∴m=-6.因此x 13+x 23=(x 1+x 2)(x 12-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)[(x=1+x 2)2-3x 1x 2]=-12.3.(1)∵△=(-4)2-4(2-k 2)=4k 2+8>0, ∴方程有两个不相等的实数根;(2)(x 1-1)(x 2-1)=x 1·x 2(x 1+x 2)+1=2-k 2-4+1=-k 2-1<0, ∴x 1-1,x 2-1中必有一个正数,一个负数. 即x 1,x 2中必有一个大于1,另一个小于1.4.9y 2-40y+40=0.设方程3x 2+2x -3=0的根为x 1,x 2,所求方程的根为y 1,y 2,而x 1+x 2=-23,x 1·x 2=-1,∴y 1+y 2=(x 12+1)+(x 22+1) =(x 1+x 2)2-2x 1x 2+2 =(-23)2-2×(-1)+2=409y 1·y 2=(x 12+1)(x 22+1) =(x 1·x 2)2+(x 12+x 22)+1=(x 1·x 2)+(x 1+x 2)2-2x 1x 2+1=409∴所求方程为y 2-409y+409=0,即9y 2-40y+40=0.5.0.提示:设方程①的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=4n,x 1·x 2=-3n -1.∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(4n)2-2(-3n-1) =16n 2+6n+2.解方程②得x 1=4n+2,x 2=1-2n.(1)当16n 2+6n+2=4n+2时,n 1=0,n 2=-18,把n 1=0,代入x 1=4n+2,得x 1=2; 把n 2=-18代入x 1=4n+2,得x 1=32不是整数,∴n=-18舍去;(2)当16n2+6n+2=1-2n时,n1=n2=-1 4 .把n=-14代入x2=1-2n,得x2=32不是整数,∴n=-14舍去.当n=0时,方程①的△1=4>0,∴n的值为0.6.0(1)当a=b时, -1=0;(2)当a≠b时,a、b是方程x2+11x+16=0两实根，从而有11,16.a bab+=-⎧⎨=⎩=14(b-a)=±14=±14B卷1.已知α,β, 是方程x2-7x+8=0的两根,且α>β,不解方程,求2α+3β2的值.2.已知两数之积ab≠1,且2a2+12234 567 890a+3=0,3b2+1234 567 890b+2=0,求a b .3.已知x 1,x 2是方程x 2-2(k -2)x+(k 2+3k+5)=0(k 为实数)的两实根,求2212x x 的最小值.4.如果方程(x -1)(x 2-2x+m)=0的三个实根可以作为一个三角形的三条边,•求实数m 的取值范围.5.若方程(x 2-1)(x 2-4)=k 有四个非零实根,•且它们在数轴上对应的四个点等距排列,求k 值.6.已知a,b,c,d 是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值.B 卷答案1.18(403-由题意知α+β =7, αβ=8.于是α2+β2=(α+β)-2αβ=33,(α-β)2=( α+β)2-4αβ=17,又α>β,故α- 令A=2α+3β2,B=2β+3α2,则A+B=2α+2β+3(α2+β2) =2()αβαβ+ +3(α2+β2)=278⨯+3×33=4034, ①A- B==2α-2β+3β2-3α2=2()βααβ-+3(β-α)(β+α)=(β-α)[2αβ+3(β+α)]=(28+3×7)=-4. ②①,②两式相加,得A=18(403-).2.32.设1 234 567 890=m,则有2a 2+ma+3=0,3b 2+mb+2=0,即2(1b)2+m·1b+3=0 ,又a≠1b,故a 与1b是二次方程2x 2+mx+3=0的两个不等实根,故a b=a·1b=32.3.45049.由韦达定理得,x 1+x 2=2(k -2),x 1·x 2=k 2+3k+5.∴x 12+•x 22=•(•x 1+•x 2)2-2x 1x 2=4(k -2)2-2(k 2+3k+5)=2(k -112)2-1092又△=4(k -2)2-4(k 2+3k+5)=-28k-4≥0,即k≤-17,故只有k=-17时,x 12+x 22取最小值为45049.4.34<m≤1.由已知x 1=1,设另两根为x 2,x 3且x 2≤x 3,x 2+x 3=2,x 2·x 3=m. 又x 1>•x 3-x 2即解得m>34.又△=(-2)2-4m≥0,∴m≤1, ∴34<m≤1.5.74.设x 2=y,原方程变为y 2-5y+(4-k)=0,设此方程有实根α,β(0<α<β) , 则原方程的四个实根为, 由于它们在数轴上等距排列,即β=9α,①又54k αβαβ+=⎧⎨=-⎩由此求得k=74且满足△=25+k -16>0.6.-1.∵ (a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,∴a 、b(a≠b)是方程(x+c)(x+d)=1的两个不同实根, 即为方程x 2+(c+d)x+cd -•1=0的两个实根, ∴a+b=-(c+d),ab=cd -1. ∴(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=(cd-1)-(c+d)c+c2=-1.。