韦达定理及其应用
【内容综述】
设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】
1．求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且，，求的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
解（1）当a=b时，
；
（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得
，ab=1.
说明此题易漏解a=b的情况。
根的对称多项式，，等都可以用
方程的系数表达出来。
一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定
理，得 ，
∴
2．构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和
为根的一元二次方程； （2）若以
和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方
程。
解 （1）由韦达定理知 ，。
，。
所以，所求方程为。
（2）由已知条件可得
解之可得由②得
，
分别讨论
（p,q ）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。
于是，得以下七个方程
，
，
，
，
，
01x 2x 2=++，01x 2=-，其中01x 2=+无实数根，舍去。
其余六个方程均为所求。
3．证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★ 例4 已知a ，b ，c 为实数，且满足条件：
，
，求证a=b 。
证明由已知得，。
根据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为
①
由a，b为实数知此方程有实根。
c2 ，故c=0，从而。
这表明①有两个相等实根，即有a=b。
∴0
说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。
另外在求得c=0后，由恒等式
可得，即a=b。
此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。
4．研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。
关于方程的实根符号判定有下述定理：
⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；
⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；
⑶方程有异号二根，ac<0；
⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；
★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。
⑴二根均大于1；
⑵一根大于1，另一根小于1。
思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。
解设此方程的二根为，，则
，。
⑴方程二根均大于1的条件为
解之得
3a 7-≤<-
⑵方程二根中一个大于1，另一个小于1的条件为
⎪⎩⎪⎨⎧<+---=-->--=∆.01)a 2(a 6)1x )(1x (,0)a 6(4a 421
2
解之得。
7a -<。
说明 此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。
此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。
5．求参数的值与解方程
韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。
★★★例6 解方程。
解：原方程可变形为 。
令，。
则
,。
由韦达定理逆定理知，以a ，b -为根的一元二次方程是 。
解得
，。
即a=8-或a=9。
或
通过
求解x 结果相同，且严谨。
，（舍去）。
解之得
，。
此种方法应检验：是或否成立
强化训练
A 级
★★1.若k 为正整数，且方程有两个不等的正整数根，则
k 的值为________________。
★★2.若，
，则_______________。
★★★3 .已知和是方程的二实根，则_____________。
★★★4.已知方程（m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。
Ｂ级
★★★★5.已知：和为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且。
求证：，是方程的实根。
★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足，试求k的值。
参考答案
1．2
提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。
所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。
故k=2。
2．提示：由x，y为方程的二根，知，。
于。
3．21
提示：由，，知，
4．设二个不等的正整数根为，，由韦达定理，有
消去m ，得 。
即。
则且。
，。
故。
5．由韦达定理有，。
又，。
二式相减得。
，。
将
代入有。
从而 ，
同理
和是方程的根。
6．当β=α时，可知1=β=α，所以2k 13k 124=⇒⨯=+，当β≠α时，易证得。
从而
，
为方程的二不同实根。
，。
于是，
，。
当
时，方程为。
解得或
取，即能符合题意，故k的值为。