2010-2011年一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则2．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-= .4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数. 解：3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D .4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdyzx xydxdz xyzdydz2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。

四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰D xydxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y x y x .五．证明题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--= （1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。

（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在D 的边界线7522=-+xy y x 上找使（1）中的),(y x g 达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。

2009-2010年一、 填空题（每小题5分，满分30分）1. 若向量→→→c b a ,,两两互相垂直，且5,12,13a b c →→→===和，则=++→→→c b a .2．设函数22sin y z xy x =，求z z x y x y ∂∂+=∂∂ . 3. 设函数(,)f x y 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：210(,)y dy f x y dx =⎰⎰.4. 计算(1,2)(0,0)()(2)y y I e x dx xe y dy =++-=⎰.5. 幂级数nn nx n 213∑∞=的收敛域为： .6. 设函数)()(2πππ<<-+=x x x x f 的傅里叶级数为：∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则其系数 3b =. 二、 选择题（每小题5分，满分20分）1．直线11231-=-=-z y x 与平面34-2x y z +=的位置关系是( ) (A) 直线在平面内； (B) 垂直；(C) 平行； (D) 相交但不垂直.2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ ）(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；(C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则⎰=+-Ly x ydxxdy 22（ ）(A) 0； (B) π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a为常数，则级数21sin n na n ∞=⎛ ⎝∑（ ） (A) 绝对收敛； (B) 发散；(C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (本大题满分42分)1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=.)0,0(),(,),0,0(),(,),(422yxyxyxxyyxf讨论(,)f x y在原点)0,0(处是否连续，并求出两个偏导数)0,0(x f'和)0,0(y f'. (7分)2. 计算,222⎰⎰⎰Ω++=dxdydzzyxI其中Ω是由上半球面222yxz--=和锥面22yxz+=所围成的立体 . (7分)3. 求锥面22y x z +=被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积.（7分）4. 计算曲面积分 ⎰⎰∑++=ydzdxx xdydz z zdxdy y I 222 ，其中 ∑ 是由,22y x z +=0,0,0,122====+z y x y x 围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）5.讨论级数312lnnnn∞=∑的敛散性. （6分）6. 把级数121211(1)(21)!2nnnnxn-∞--=--∑的和函数展成(1)x-的幂级数.（8分）四、（本题满分8分）设曲线L 是逆时针方向圆周1)()(22=-+-a y a x ，()x ϕ是连续的正函数，证明：.2)()(πϕϕ≥-⎰L dx x y y xdy五、设曲线L 是逆时针方向圆周1)()(22=-+-a y a x ，()x ϕ是连续的正函数，证明：.2)()(πϕϕ≥-⎰L dx x y y xdy（8分）2008-2009年一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,满足关系式c a b a ⨯=⨯，则（ ）. （A ）必有0=a ; （B ）必有0=-c b ;（C ）当0≠a 时，必有c b =; （D ）必有λλ()(-=为常数).2. 直线37423zy x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是（ ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,5),(22y x y x yx xyy x f 在点（0，0）处（ ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2)()(y x ydydx ay x +++为某二元函数的全微分，则=a （ ）.（A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设)(u f 是连续函数，平面区域)11(,10:2≤≤--≤≤x x y D ，则=+⎰⎰Ddxdy y x f )(22（ ）.（A ）⎰⎰-+2102210)(x dyy x f dx ; （B ）⎰⎰-+2102210)(y dxy x f dy ;（C ）⎰⎰1020)(rdrr f d πθ; （D ）⎰⎰1020)(drr f d πθ.6. 设a 为常数，则级数)cos 1()1(1n a n n--∑∞=（ ）.（A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，向量}1,1,1{=n ，点)3,2,1(0P ，=0P _____________.2. 若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a ____________. 3. L 为圆122=+y x 的一周，则=-⎰L ds y x )(22_____________.4. 设2lim 1=+∞→nn n a a ，级数∑∞=-112n n n x a 的收敛半径为 _____________.5. 设⎰-=221)(x y dye xf ，则=⎰1)(dx x xf _____________.6. 设)(x f 是以2为周期的周期函数，它在区间]1,1(-上的定义为⎩⎨⎧≤<≤<-=10,01,2)(3x x x x f ，则)(x f 的以2为周期的傅里叶级数在1=x 处收敛于_____________.三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设)(u f 是可微函数，)(x y f z =，求y z y xz x ∂∂+∂∂2. 解题过程是：2. （本小题6分）计算二重积分⎰⎰+++D dxdy y x xy2211，其中}0,1|),{(22≥≤+=x y x y x D .解题过程是：3. （本小题6分） 设曲面),(y x z z =是由方程13=+xz y x 所确定，求该曲面在点)1,2,1(0-M 处的切平面方程及全微分)2,1(|dz .解题过程是：4. （本小题6分） 计算三重积分⎰⎰⎰Ω+dxdydzy x 22，其中Ω是由柱面21x y -=及0=y ，0=z ，4=++z y x 所围成的空间区域.解题过程是：5. （本小题6分）求⎰⎰∑++zdxdydydzzx)2(，其中∑为曲面)10(22≤≤+=zyxz，方向取下侧.解题过程是：6. （本小题7分）求幂级数∑∞=+121nnxnn的收敛域及和函数.解题过程是：7. （本小题7分）计算⎰⎰∑+=dSy x I )(22，∑为立体122≤≤+z y x 的边界。

解题过程是：四．证明题（8分）.设函数)(u f 在),(+∞-∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ，记⎰-++=L dy xy f y y xdx xy f y y I ]1)([)](1[1222，（1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.2007-2008年1. 平面0:1=-∏z y 与平面0:2=+∏y x 的夹角为 .2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为 .3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dVΩ⎰⎰⎰在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰______________________________________.6.将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数为__________________________________.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。