中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一” 有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在△ ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE连接BE,则有: ADC^ EDB作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在虫ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF连接CF,则有: BED^ CFD作用：转移线段和角。
（二）直角二角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线， 然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。
如 下图，在 Ri ABC 中，.A C B= 9 0, D 为 AB 中点，则有：1 CD =AD =BD = AB 2（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线一。
在 ABC 中：（1）AC^C ；（2）CD 平分 ZACB ；（ 3）AD^D ,（ 4） CD 丄AB“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时， 常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。
1如图，在 ABC 中，D ，E 分别是AB AC 边中点，则有DE LI BC ，DE= BC 。
2三、练习（一）倍长中线法1. （2014秋？津南区校级期中）已知：在厶ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE = AC,延长BE 交AC 于F ,求证：AF = EF.意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条A D HB D2.(20仃?湘潭)如图，在？ABCD中，DE= CE连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ ADE^A FCE(2)若AB= 2BC,Z F= 36° .求/ B 的度数3.(2017江西萍乡，15)如图，在△ ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF.(1)求证：CF= AD(2)若CA= CB,试判断四边形CDBF的形状，并说明理由.4.(2014?鄂尔多斯)如图1,在?ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F.且/ AEO 2/ ABE 连接BF、AC.(1)求证：四边形ABFC的是矩形；(2)在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠△ ABM，使点B恰好落在线段DF上的点B'处(如图2)，AB= 13，AC= 12，求MF的长.BHl DC5.(2017?贵阳,24) (1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB// DC, E是BC 的中点，若AE是/ BAD的平分线，试判断AB, AD, DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△ AEB^A FEC 得到AB= FC,从而把AB，AD, DC转化在一个三角形中即可判断.AB、AD、DC之间的等量关系为____________ ;(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中, AB// DC, AF与DC的延长线交于点F, E是BC的中点，若AE是/BAF的平分线，试探究AB, AF, CF之间的等量关系，并证明你的结论.(3)问题解决：如图③，AB// CF, AE与BC交于点E, BE: EO 2: 3，点D在线段AE上，且/ EDM/BAE试判断AB DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.(二)倍长类中线法1.(2016秋？江都区期中)已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上,且/BAE=/ CDE 求证：AB= CD. -3. （20仃？山西，17）已知：如图，在?ABCD 中，延长AB 至点E ,延长CD 至点F , 使得BE = DF.连接EF,与对角线AC 交于点O . 求证：0E = OF.（三）直角三角形斜边中线法1. （2016?乌鲁木齐，9） 角形沿CE 折叠后，使点 的长为（）A. .3B. 2,3 如上图，在Rt A ABC 中，点E 在AB 上，把这个直角三B 恰好落到斜边AC 的中点°处，若BC = 3，C. 3.3则折痕CE 2. （2015?乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系 xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点.现将此三角板绕点 0顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（）A .（ I3, T ）B. （1,八 3）C. （2・3,-2）D. （2, -2爲2. （2017?重庆，24）在厶ABM 中，/ ABM = 45°, AM 丄BM ,垂足为 M ，点 C是BM 延长线上一点，连接 AC.（1） 如图 1,若 AB =3.2，BO5,求 AC 的长；（2） 如图2,点D 是线段AM 上一点，MD = MC ,点E 是厶ABC 外一点，EOAC,连接ED 并延长交BC 于点F ,且点F 是线段BC 的中点，求证：/ BDF =ZCEF3.(2017?新疆，22)如图，AC为O O的直径，B为O O上一点，/ AC吐30°延长CB至点D,使得CB= BD,过点D作DEL AC,垂足E在CA的延长线上, 连接BE.(1) 求证：BE是O O的切线；(2) 当BE= 3时，求图中阴影部分的面积4.(2017?北京，22)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD// BC,AD= 2BC,Z ABD= 90°, E为AD 的中点，连接BE(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC,若AC平分/ BAD, BC= 1，求AC的长.5.(2015北京东城，23)如图，△ ABC中，/ BCA= 90°, CD是边AB上的中线，分别过点C, D作BA, BC的平行线交于点(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AC= 2DE,求sin/ CDB的值(四)等腰三角形三线合一1. (2017?荆州)如图，在△ ABC 中，AB= AC, 交AC于点D,则/ CBD的度数为( )A.30oB.45°C.50°D.75°E,B CB D C3. （2017?遵义）如图，△ ABC 的面积是12,点D 、E 、CE 的中点，则△ AFG 的面积是（）A.4.5B.5C.5.52. （2017?陕西，9）如图，△ ABC 是O O 的内接三角形，/ C = 30°, O O 的半径 为5,若点P 是O O 上的一点，在△ ABP 中，PB= AB,则PA 的长为（）A.5C. 5 2 B.葺 2D. 5.33. （2017?呼和浩特，18）如图，等腰三角形ABC 中，BD, CE 分别是两腰上的中线.（1） 求证：BD = CE（2） 设BD 与CE 相交于点O ,点M , N 分别为线段 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形 理由.BO 和CO 的中点，当厶ABCDEMN 的形状，无需说明 （五）中位线法 1. E 、 （2015?郑州）如图，D 是厶ABC 内一点，BD 丄CD, F 、G 、H 分别是AB AC 、CD BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（A.14B.18C.20D.22 2013?乌鲁木齐，15）如图，△ ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF 丄AE于F , AB = 5, AO2，则DF 的长为2. D.6 AD = 12, BD= 8, CD= 6,)BE4.（2017?天津，17）如图，正方形ABCD和正方形EFCG勺边长分别为3和1, 点F, G分别在边BC, CD上, P为AE的中点，连接PG,5.（2014春？硚口区期末）如图，已知△ ABC的中线BD、CE相交于点0、M、N 分别为OB 0C的中点.（1）求证：MD和NE互相平分；（2）若BD丄AC, EM= 2 2 , 0D+ CD= 7,求厶0CB的面积.6.（2017?云南，20）如图，△ ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB AC的中点.（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S.7.（2017?长春）【再现】如图①，在△ ABC中，点D, E分别是AB, AC的中点，1可以得到：DE// BC,且D^-BC （不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA 的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明.【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是： _________ .（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点，对角线AC, BD 相交于点0•若A0= 0C,四边形ABCD 面积为5,则阴影 部分图形的面积和为 ____________ .& (2015?巴东县模拟)如图，在四边形 ABCD 中，AB = DC, E 、F 分别是AD 、BC 的中点，G 、H 分别是对角线BD 、AC 的中点.(1)求证：四边形EGFH 是菱形；5(2)若 AB =—,则当/ ABC+z 4 〈DCB= 90°时，求四边形EGFH 的面积. DH图C。