∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠1 =∠2，∠3=∠4，
∵CF∥ED，
∴∠1 =∠FCM，
∴∠BCF=∠4 +∠FCM=∠3 +∠1=∠3 +∠2 =∠BAD.
∴△BCF≌△BAD,
∴BF=BD，∠5 =∠6，
∴∠DBF=∠5 +∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC= 90°，
∴∠CMD=∠DCM，
∴MD=CD．
∵AD= 2DM，AB=CD，AD=BC，
∴BC=2AB．
证法二：
如右图(b)，过点M作 交BC于 ，过点 作 交AB的延长线于点 ，连接 ．
∴点 是 的中点， ， ， ，
∵点 是Rt△EBC斜边BC的中点，
∴ ，∴ ．
∴ ．
∵∠EMD= 3∠MEA，∴ ，
∴
∴ ， ．
在△ADE和△CDP中
∴△ADE≌△CDP
∴DE=DP=FG
⑵由⑴知道△DEP为等腰直角三角形
∴
在△EGP中，EG+DF=EG+GP≥PE= FG
当EG∥FD时，取到等号
【例4】如下图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若△PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？
∴ ．∴ ,∴ ．
∴BC= 2AB．
【例2】如图所示，分别以△ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点，
⑴求证：AM⊥EG；⑵求证：EG=2AM．
【解析】⑴如图所示，延长AM到N，使MN=AM,延长MA交EG于点P，连接BN、NC．
∵BM=CM，
∴四边形ABNC是平行四边形．
∴△DBF是等腰三角形，
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰三角形，
【解析】证法一：
如右图（a），延长EM交CD的长线于点 ，连结CM
∵AB∥CD，
∴∠ME'D=∠MEA．
又AM=DM，∠AME=∠DME'
∴△AFM≌△ ．
∴EM=
∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴EC⊥CD．
∴CM是Rt△ 斜边 的中线，
∴ =பைடு நூலகம்C．
∴ ，
∴∠EMC=2 =2∠AEM．
∵∠EMD=3∠MEA，
典题精练
【例3】已知：如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，FG⊥DE于点H．
⑴求证：FG=DE．
⑵求证：FD+BG≥ ．
【解析】延长GC到点P，使得GP=DF，连接EP，DP．
⑴∵DF∥GP，GP=DF
∴四边形DFGP为平行四边形
∴FG=DP，FG∥DP
又∵FG⊥DE，∴DP⊥DE
∴∠ADE=∠CDP
【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差．
如右图，连接CP、AP．可得：
所以
而 ， ，
所以 (平方分米)．
题型三：旋转
典题精练
【例5】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.
⑴如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为．
⑵如图②，点D不在AB上，⑴中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
【解析】⑴BD=
⑵结论成立，
证明：连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得△MDE≌△MFC,
几何综合
题型一：中点模型的构造
中点模型
①中线（点）：倍长（类）中线
②两中点：中位线
③等腰三角形底边中点：三线合一
④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半 构造两等腰
⑤中垂线：中垂线上的点连两端点
有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线．
典题精练
【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，若∠EMD= 3∠MEA．求证：BC=2AB．
∴BN=AC=AG．
∵∠EAG+∠BAC= ，
∠ABN+∠BAC= ，
∴∠EAG=∠ABN．
∵AE=AB，
∴△EAG≌△ABN．∴∠AEG=∠BAN．
又∵∠EAB= ，
∴∠EAP+∠BAN= ．
∴∠AEP+∠EAP= ．
∴MA⊥EG．
⑵证明：∵△EAG≌△ABN，∴EG=AN= 2AM．
题型二：平移及等积变换