中点模型的构造
技巧提炼：很多几何题会给出“点×是线段××的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该想到什么
呢？“中点”有哪些作用呢？
1、已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：
（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。
如图
（2）三角形中位线定理。
2、已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。
3、已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。
4、有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，
例出直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条
件的时候，可以用辅助线添加。
典例精讲
例1如图所示，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上的中线AD的取值范围。
例2如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF，
求证：AC=BE。
变式练习：
1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，AF与EF相等吗，为什么？
2、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线交于点F，交AB于点G，若AD为
△ABC的角平分线，求证：BG=CF。
例3如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED⊥FD，以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角
三角形？
变式练习：
1、如图，已知M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF。
求证：BE+CF>EF。
2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2=1（AB2+AC2）。
4
例4已知，如图，在△ABC 中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M，求证：
FM=EM。
例5 △ABD 和△ACE 都是直角三角形，且
ABD= ∠ACE=90°，如图，连接DE，设M为DE 的中点，连接∠
MB、MC。
求证：MB=MC 。
例6问题一：如图（a），在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、AD 的延长线交于点M、N，求证：∠BME=∠CNE。
问题二：如图（b），在四边形ABCD中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论。
问题三：如图（c），在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA 的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明。
例7如图，已知在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB至点D，使BD=AB，求证：CD=2CE。
例8 问
题1：如图（a），三角
形
ABC 中，
点
D是AB 边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F，AE、
BF 交于
点
M，连接DE、DF，若DE=kDF，则k的值为。
问题2：如图(b)，三角形 ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作业ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接DE、DF。
求证DE=DF。
问题3：如图（c）,若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究
间的数量关系，并证明你的结论。
DE 与DF 之
牛刀小试：
*1、如图，在等腰直角三角形AB于点E，交BC于点F，若ABC中，∠ABC
AE=4，FC=3。
求
中，∠ABC=90°，D
EF长。
为AC 边上中点，过
点
D作DE⊥DF，交
*2、如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，CD=BC，E是CA延长线上一点，AE=2AC，若AD=BE，求证：△ABC是直角三角形。
**3、如图，在正方形ABCD中，F是AB中点，连接CF，作DE⊥CF交BC于点E，交CF于点M，求证：AM=AD。
**4、如图，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：AM⊥CD。
**5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC与BD交于点O，∠AOB=60°，P、Q、R分别是OA、BC、OD的中点，求证：△PQR是正三角形。
**6、如图，在△ABC中，若∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC边的中点，求证：AB=2DE。
***7、如图，分别以△ ABC的边AB,AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形 ACFG，点M为BC
中点，
（1）求证：AM⊥EG；（2）求证：EG=2AM。
***8、如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N，判断△MNQ的形状并证明。
***9、如图，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，点F为CD的中点，求证：BF=EF。
眺望中考：
数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：
在等腰△ABC DF⊥AB于点中，AB=ACF，
EG⊥AC
，分别以 AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图
于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是
1所示，其
中．（填序
号即可）①AF=AG= AB；②MD=ME ；③四边
形
AFMG 是菱形；④整个图形是轴对称图形；
⑤
MD⊥ME．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明过程；
●类比探索：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：2所示，M
3所示，
是
M
BC的中
是BC的。