例10. 已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°。如图，连接DE，设M为DE的中点，连接MB、 MC。求证：MB=MC。
考点 3：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
例11. 如图，在矩形ABCD中E为CB延长线上一点且AC=CE，F为AE的中点。求证：BF⊥FD。
巩固练习： 1. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，AF与EF相等吗？
为什么？
2. 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若AD为△ABC 的角平分线，求证：BG=CF。
3. 如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC。
例20. 在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，点F为CD的中点，求证：BF=EF。
例21. 如图1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，点E在AB边上，点F在AC边的延长线上，连接EF交BC于点M， 交AD于点N，∠AEF=2∠F，EM=FM。 （1）求证：∠B= 3 ∠F。 2 （2）如图2，过点A作AH⊥EF于H，若AH=5，△AEN的面积为15，求线段CF的长。
6. 已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°。连接DE，设M为DE的中点，连接MB、MC。 求证：MB=MC。 A
C
E
M
D
B
7. 已知，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，AF为∠BAC的平分线，交BD于E点，BC于F点，求证： OE = 1 FC 。 2
A
A
DM
B
C
F
例18. 如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，求 证：∠ACB＝2∠B。 A
D M
C E
B
例19. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC与BD交于点O，∠AOB=60°，P、Q、R分别是OA、BC、OD 的中点，求证：△PQR是正三角形。
A
D
F
EB
C
例12. 如图：梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，CD=3，E为AB中点，求证：DE⊥EC。
A
D
E
B
C
考点 4：三角形中位线定理 例13. 如图，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点0，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、
AB于点M、N，判断△OMN的形状并证明。
D
O
E
B
F
C
8. 在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于 点F。 （1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当 AB ≠ AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由。
考点 5：中点构造的综合应用 例16. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6，AC=14，求
DE的长。
A
D
B
E
C
例17. 如图，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，求证： MF = 1 (AC − AB) 。 2
A
B
C
D
4. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP、BP分别是∠BAC，∠CBA的角平分线，并且交BC、AC于P、
Q两点。求证：AQ+BQ=AB+BP。
A
B Q
P
C
5. 已知M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF.求证：BE+CF>EF。
A
B
D
E
C
例3. 如图，已知△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD，连接AF， AG。
（1）补全图形； （2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论； （3）F、A、G三点的位置关系如何？证明你的结论。
例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD。求证：CD=2EC。 A
E
B
C
D
例5. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF，求证：AC=BE。
例6. 如图，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证AM⊥CD。
考点 2：已知直角三角形斜边中点，可考虑构造斜边中线 例7. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点。
三角形之中点模型
学习目标： 1．通过中点的性质，了解中点在三角形中的各类作用。 2．掌握题目条件中的中点作用，能够灵活结合题目分析出中点使用的各类方法。
知识点 1：倍长中线或类中线（与中线有关的线段）构造全等三角形 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中
例14. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于 点M、N，求证：∠BME=∠CNE。
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例15. 如图，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延 长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明。
位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
考点 1：倍长中线或类中线（与中线有关的线段）构造全等三角形 例1. 如图，在△ABC中，AB=10，AC=22，求BC边上的中线AD的范围。
例2. 在△ABC中，D、E是BC边上的三等分点，求证：AB＋AC＞AD＋AE。
（1）若EF=4，BC=10，求△EFM的周长； （2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠MFE的度数。
例8. 已知：如图，在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M。求证：FM=EM。
例9. 如图，在△ABC中，若∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC边的中点。求证：AB＝2DE。