第19章一次函数专项训练专训1.用一次函数巧解实际中方案设计的应用名师点金:做一件事情,有时有不同的方案,比较这些方案,从中选择最佳方案作为行动计划,是非常必要的.解决这些问题时,先要弄清题意,根据题意构建恰当的函数模型,求出自变量的取值范围,然后再结合实际问题确定最佳方案.合理决策问题1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经市场调研发现,如果本月初出售,可获利10%,然后将本利再投资其他商品,到下月初又可获利10%;如果下月初出售可获利25%,但要支付仓储费8 000元.设商场投入资金x元,请你根据商场的资金情况,向商场提出合理化建议,说明何时出售获利较多.选择方案问题2.某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习,预订宾馆住宿时,有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择,其收费标准均为每人每天120元,并且各自推出不同的优惠方案.甲家是35人(含35人)以内的按标准收费,超过35人的,超出部分按九折收费;乙家是45人(含45人)以内的按标准收费,超过45人的,超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人,你应选择哪家宾馆更实惠些?最佳效益问题3.甲、乙两个商场出售相同的某种商品,每件售价均为3 000元,并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一件按原售价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件是:每件优惠25%.设所买商品为x件时,甲商场收费为y元,乙商场收费为y2元.1(1)分别求出y1,y2与x之间的关系式.(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为多少件?(3)当所买商品为5件时,应选择哪个商场更优惠?请说明理由.专训2.全章热门考点整合应用名师点金:本章内容是中考的必考内容,主要考查一次函数的图象与性质,求函数解析式及建立一次函数模型解决利润大小、方案选择等实际问题,题型涉及选择题、填空题与解答题.其热门考点可概括为:三个概念,两个图象,一个性质,四个关系,一个方法,两个应用.三个概念概念1变量与常量1.(1)设圆柱的底面半径R不变,圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是V =πR2h,在这个变化过程中常量和变量分别是什么?(2)设圆柱的高h不变,在圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的关系式V=πR2h中,常量和变量分别又是什么?概念2函数2.两个变量之间存在的关系式是y2=x+1(其中x是非负整数),y是不是x 的函数?如果变为用含y的代数式表示x的形式,x是不是y的函数?请说明原因.3.求下列函数中自变量的取值范围:概念3一次函数4.当m,n为何值时,y=(5m-3)x2-n+(m+n)是关于x的一次函数?当m,n为何值时,y是关于x的正比例函数?两个图象图象1函数的图象5.小张的爷爷每天坚持体育锻炼,星期天爷爷从家里跑步到公园,打了一会儿太极拳,然后沿原路慢步走到家,下面能反映当天爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间关系的大致图象是( )图象2一次函数的图象6.(中考·阜新)对于一次函数y=kx+k-1(k≠0),下列叙述正确的是( )A.当0<k<1时,函数图象经过第一、二、三象限B.当k>0时,y随x的增大而减小C.当k<1时,函数图象一定交于y轴的负半轴D.函数图象一定经过点(-1,-2)7.若有理数a,b,c满足a+b+c=0,且a<b<c,则函数y=ax+c的图象可能是( )一个性质8.已知点M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y=-2x+1的图象上的两点,则a与b的大小关系是( )A.a>b B.a=bC.a<b D.以上都不对9.已知一次函数的解析式是y=(k-2)x+12-3k.(1)当图象与y轴的交点位于原点下方时,判断函数值随着自变量的增大而变化的趋势;(2)如果函数值随着自变量的增大而增大,且函数图象与y轴的交点位于原点上方,确定满足条件的正整数k的值.四个关系关系1一次函数与正比例函数的关系⑤2x-y=0;⑥y=-2(x-1).11.如图,过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B.(1)求一次函数的解析式;(2)判断点C(4,-2)是否在该一次函数的图象上,说明理由;(3)若该一次函数的图象与x轴交于D点,求△BOD的面积.(第11题)(1)求点B,C的坐标;(2)求△ABC的面积.(第12题)关系3一次函数与二元一次方程(组)的关系13.下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形,利用函数的图象解方程5x-1=2x+5,其中正确的是( )关系4一次函数与不等式(组)的关系14.已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).(1)求这个一次函数的解析式;(2)求关于x 的不等式kx +3≤6的解集.15.在同一平面直角坐标系中,画出一次函数y 1=2x -4,y 2=x +1的图象,根据图象求解下列问题:(1)二元一次方程组⎩⎨⎧y =2x -4,y =x +1的解;(2)一元一次不等式组⎩⎨⎧2x -4>0,x +1>0的解集.一个方法——待定系数法16.如图,一个正比例函数图象与一个一次函数图象交于点A(3,4),且一次函数的图象与y 轴相交于点B(0,-5).(1)求这两个函数的解析式; (2)求三角形AOB 的面积.两个应用应用1给出解析式(或图象)解实际问题17.某游泳馆普通票价20元/张,暑期为了促销,新推出两种优惠卡:①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元.(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A,B,C的坐标;(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.应用2只给语言叙述或图表情境解实际问题18.为改善生态环境,防止水土流失,某村计划在河堤坡面种植白杨树,现有甲、乙两家林场可提供相同质量的白杨树苗,其具体销售方案如下:(1)该村需要购买1 500棵白杨树苗,若都在甲林场购买所需费用为________元,若都在乙林场购买所需费用为________元;(2)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式;(3)如果你是该村的负责人,应该选择到哪家林场购买树苗合算,为什么?答案专训11.解:设如果商场本月初出售,下月初可获利y1元,则y1=10%x+(1+10%)x·10%=0.1x+0.11x=0.21x,设如果商场下月初出售,可获利y2元,则y2=25%x-8 000=0.25x-8 000.当y1=y2时,0.21x=0.25x-8 000,解得x=200 000;当y1>y2时,0.21x>0.25x-8 000,解得x<200 000;当y1<y2时,0.21x<0.25x-8 000,解得x>200 000.所以若商场投入资金为20万元,两种出售方式获利相同;若商场投入资金少于20万元,本月初出售获利较多;若投入资金多于20万元,下月初出售获利较多.2.分析:设总人数是x人,当x≤35时,选择两家宾馆是一样的;当35<x≤45时,选择甲宾馆比较实惠;当x>45时,两家宾馆的收费可以表示成人数x 的函数,比较两个函数值的大小即可.解:设总人数是x人,甲宾馆的收费为y甲元,乙宾馆的收费为y乙元,当x≤35时,两家宾馆的费用是一样的;当35<x ≤45时,选择甲宾馆比较实惠;当x>45时,甲宾馆的收费y 甲=35×120+0.9×120×(x -35),即y 甲=108x +420,乙宾馆的收费y 乙=45×120+0.8×120(x -45)=96x +1 080. 当y 甲=y 乙时,108x +420=96x +1 080,解得x =55; 当y 甲>y 乙时,108x +420>96x +1 080,解得x>55; 当y 甲<y 乙时,108x +420<96x +1 080,解得x<55.综上可得,当x ≤35或x =55时,两家宾馆的费用是一样的; 当35<x<55时,选择甲宾馆比较实惠; 当x>55时,选择乙宾馆比较实惠.3.解:(1)当x =1时,y 1=3 000;当x >1时,y 1=3 000+3 000(x -1)×(1-30%)=2 100x +900.所以y 1=⎩⎨⎧3 000(x =1),2 100x +900(x >1,x 为整数).y 2=3 000x (1-25%)=2 250x (x 为正整数).(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,2 100x +900=2 250x ,解得x =6.故甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为6件.(3)应选择乙商场更优惠,理由如下:当x =5时,y 1=2 100x +900=2 100×5+900=11 400,y 2=2 250x =2 250×5=11 250,因为11 400>11 250,所以当所买商品为5件时,应选择乙商场更优惠.专训21.解:(1)常量是π和R ,变量是V 和h. (2)常量是π和h ,变量是V 和R.2.解:在y 2=x +1中,当x 的值是0时,y 的值为±1,此时y 的值有两个,并不是唯一确定的,因此y 不是x 的函数.y 2=x +1变形为x =y 2-1后,对于y 的每一个值,另一个变量x 都有唯一确定的值与其对应,因此x 是y 的函数.5.B 6.C 7.A8.A 点拨:∵点M(1,a)和点N(2,b)在一次函数y =-2x +1的图象上,由一次函数图象性质可知一次函数y =-2x +1中函数值y 随x 的增大而减小,∴a>b.9.解:(1)因为图象与y 轴的交点位于原点下方,即点(0,12-3k)位于原点下方,所以12-3k<0,解得k>4.所以k -2>4-2>0,所以函数值随着自变量的增大而增大.(2)因为函数值随着自变量的增大而增大,所以k -2>0,解得k>2. 因为函数图象与y 轴的交点位于原点上方,所以12-3k>0,解得k<4. 所以k 的取值范围为2<k<4. 所以满足条件的正整数k 的值为3. 10.解:一次函数:①②⑤⑥ 正比例函数:②⑤11.解:(1)在y =2x 中,令x =1,得y =2,则点B 的坐标是(1,2), 设一次函数的解析式是y =kx +b(k ≠0), 则⎩⎨⎧b =3,k +b =2,解得⎩⎨⎧b =3,k =-1. 故一次函数的解析式是y =-x +3.(2)点C(4,-2)不在该一次函数的图象上.理由:对于y =-x +3,当x =4时,y =-1≠-2,所以点C(4,-2)不在该函数的图象上.(3)在y =-x +3中,令y =0,得x =3,则点D 的坐标是(3,0),的交点的横坐标,因此画出y=5x-1与y=2x+5的图象即可.14.解:(1)把点(1,4)的坐标代入y=kx+3中,得4=k+3.∴k=1.∴一次函数的解析式为y=x+3.(2)由(1)知k=1,∴原不等式为x+3≤6.∴x≤3.点拨:(1)把点(1,4)的坐标代入y=kx+3中,用待定系数法求出k的值.(2)把求出的k值代入不等式kx+3≤6中,求出不等式的解集.15.解:图象略.(2)因为A点横坐标为3,所以A点到OB的距离为3.又因为B点纵坐标为-5,所以OB=5.普通票:y =20x.(2)把x =0代入y =10x +150,得y =150, ∴A(0,150). ∵⎩⎨⎧y =20x ,y =10x +150, ∴⎩⎨⎧x =15,y =300. ∴B(15,300).把y =600代入y =10x +150,得x =45.∴C(45,600).(3)当0<x<15时,选择购买普通票更合算;(注:若写成0≤x <15,也正确) 当x =15时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算; 当15<x<45时,选择购买银卡更合算;当x =45时,选择购买金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算; 当x>45时,选择购买金卡更合算.18.解:(1)5 900;6 000(2)当0≤x ≤1 000时,y 甲=4x ,当x>1 000时,y 甲=4 000+3.8(x -1 000)=3.8x +200,∴y 甲= ⎩⎨⎧4x (0≤x ≤1 000且x 为整数),3.8x +200(x>1 000且x 为整数).当0≤x ≤2 000时,y 乙=4x ,当x>2 000时,y 乙=8 000+3.6(x -2 000)=3.6x +800,∴y 乙=⎩⎨⎧4x (0≤x ≤2 000且x 为整数),3.6x +800(x>2 000且x 为整数).(3)由题意,得当0≤x ≤1 000时,两家林场白杨树苗单价一样,∴到两家林场购买所需费用一样.当1 000<x≤2 000时,甲林场有优惠而乙林场无优惠,∴当1 000<x≤2 000时,到甲林场购买合算;当x>2 000时,y甲=3.8x+200,y乙=3.6x+800,当y甲=y乙时3.8x+200=3.6x+800,解得x=3 000,∴当x=3 000时,到两家林场购买所需费用一样;当y甲<y乙时,3.8x+200<3.6x+800,解得x<3 000.∴当2 000<x<3 000时,到甲林场购买合算;当y甲>y乙时,3.8x+200>3.6x+800,解得x>3 000.∴当x>3 000时,到乙林场购买合算.综上所述,当0≤x≤1 000或x=3 000时,到两家林场购买所需费用一样,当1 000<x<3 000时,到甲林场购买合算;当x>3 000时,到乙林场购买合算.。