三角形外角的性质及应用
角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。
本文谈谈三角 形外角
的性质及应用。
一.三角形外角的概念及特征
如图1像/ ACD 那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。
图1
外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如/ ACD 的顶点C 是厶ABC 的一个顶点;
（2） 一条边是三角形的一边，如/ ACD 的一条边 AC 正好是△ ABC 的一条边；
（3） 另一条边是三角形某条边的延长线如/ ACD 的边CD 是厶ABC 的BC 边的延长线。
二.性质
1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于 360 °。
三•应用
1. 求角的度数
例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是
55°和65°,这个三
角形的外角不可能是（ ） A. 115 ° B.120 ° C.125 ° D. 130 °
解析：如图2，/ A 的外角为：180°
55 =125 °。
/ B 的外角为：180° - 65° =115°
/ ACB 的外角为：55° +65 ° =120°
所以选D。
BCD
例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3, AB//CD，/ B=23。
，/ D=42 °，则/ E= （）
因为AB//CD
所以/仁/ B=23 °
/ BED是厶EDF的外角
则/ BED= / 1 + / D=23 ° +42° =65
故选Co
A. 23
例3. （2006年重庆市中考）如图4, AB=AC , / BAD= ,且AE=AD ,贝EDC=( A. B. C. D.
解析：延长
解析：设/ EDC=x°
因为/ ADC是厶ABD的外角
所以/ ADC= / ABC+ / BAD
即/ ADE+x= / ABC+ （1）
因为AB=AC , AD=AE
所以/ B= / C,/ ADE= / AED
而/ AED是厶DEC的外角
所以/ AED= / EDC+ / C
即/ AED=x+ / C （2）
将（2）代入（1）得：
x C x ABC
1
所以x -
2
所以选A。
2.判定三角形的形状
例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上三种情况都有可能
解析：如图5，在三角形ABC中，/ BAC的外角/ CAD< / BAC
而/ CAD+ / BAC=180 °
即:/ CAD=180 ° -/ BAC
所以180°-/ BAC< / BAC
所以/ BAC>90 °
故选C
3.证明两角相等
例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6,在厶ABC中，AB=AC , D、E分别在BC、
AC 边上，且/ ADE= / B , AD=DE。
求证：△ ADB DEC。
分析：因为/ ADC是厶ADB的外角
所以/ ADC= / B+ / BAD
而/ ADE= / B,/ ADC= / ADE+ / CDE 所以/ ADE+ / CDE= / ADE+ / BAD 因此/ BAD= / CDE 又AB=AC，可得/ B= / C
而AD=DE
所以△ ADB DEC
例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且/
2 ................
APD=60 ° ,BP=1 , CD 则厶ABC 的边长为（)
3
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
图7
分析：因为△ ABC为等边三角形，所以/ B= / C=60
又因为/ APC是厶ABP的外角
所以/ APC= / B+ / BAP 而/ B= / APD=60 °
所以
/ BAP= / CPD
又/ B= / C ,所以△ ABP PCD
图8 证明：延长BD 交AC 于E 在厶 ABE 中，/
BEC> / A 在厶 CDE 中，/ BDC> / BEC 所以/ BDC> / A
例8.已知：如图 9，在△ ABC 中，/ BAC=90 ° , AD 丄BC 于D , E 是AD 上一点，求 证：/ DEC> / ABC 。
证明：因为/ BAC=90 ° 所以/ BAD+ / DAC=90 又因为AD 丄BC
所以/ ADB=90 °
所以/ ABC+ / BAD=90
所以/ ABC= / DAC
又因为/ DEC 是厶AEC 外角
所以/ DEC> / DAC
所以/ DEC> / ABC
5. 证明角度的和差关系
所以 AB
PC BP CD
设厶ABC 边长为x ,
则-X x
解得x=3
故选A
4. 证明角度不等关系
例7.已知，如图8,在厶ABC 中，D 是三角形内一点，求证：/ BDC> / BAC 。
例9.如图10，已知：在△ ABC中，AB>AC，/ AEF= / AFE，延长EF与BC的延长线1 交于G,求证：G ( ACB B)。
2
图io
证明：因为/ AEF= / B+ / G
又因为/ AEF= / AFE，/ AFE= / GFC
所以/ AEF= / GFC
所以/ GFC= / B+ / G ①
又因为/ ACB= / GFC+ / G ②
① + ②得：/ ACB= / B+2 / G
1
所以G -( ACB B)
2
例10.如图11,求证：/ A+ / B+ / C+ / D+ / E=180 °。
图11
证明：如图11,/ 1= / C+Z D，/ 2= / A+ / E
而/ 1 + Z 2+ / B=180 °
所以/ A+ / B+ / C+ / D+ / E=180 °
练习:
13,在锐角三角形中， CD 、BE 分别是AB 、 A=50 °，则/ BPC 的度数是（ ）
4.如图 15,求/ A+ / B+ / C+ / D+ / E 的度数。
（提示：利用如图/ 1、/ 2即可）。
1. （1996年昆明市中考） 则/ ACB 等于（
A.
20 °
如图12, 分别是△ ABC 的外角，且： 2:3:4 , A.150 ° C. 120 ° 度。
3. B.130 ° D.100 °
2. （ 2004年陕西省中考）如图 CD BE P AC 边上的
A
'
图15。