2.2.3 径向部分和角度部分的对画图
1. 径向部分的对画图
结尾部分增加如下内容：
需要指出，常有人将4πr 2ψ2作为径向分布函数的定义，
“理由”是：ψ2代表概率密度，4πr 2代表球面积，二者相乘即为半径为r 的球面上的概率。

但这种说法至少是片面的，甚至是错误的。

事实上，以上说法只对s 电子云才成立，因为它们是与方向无关的球对称形，Y 00=（4π）-1/2，|Y 00|2=（4π）-1，R 2( r )=ψ2/|Y 00|2=4πψ2，从而D ( r )= r 2R 2( r )才可以进一步写成D ( r )=
4πr 2ψ2。

可见，D ( r )= r 2R 2( r )对于任何原子轨道的电子云都是适用的，而
D ( r )= 4πr 2ψ2只适用于s 电子云，用于其它电子云都是错误的。

电子云在空间的分布并没有一个明确的边界，所以，衡量轨道的大小取决于如何定义轨道的半径。

文献中常见到两种定义:
(1) 轨道最可几半径，即径向分布函数D (r )最大值对应的半径r max 。

在这个半径上，单位厚度球壳内电子出现的几率最大。

以单电子原子的1s 轨道为例：
000000032100322221030
33222223300
03230020()24()d ()4d 422d d 421010Zr a Zr a Zr Zr Zr a a a Zr a Zr a Z R r e a Z D r r R r e a D r Z Z Z r e re r e r a r a a Z Zr re a a Zr re a −−−−−−−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
==⎡⎤⎡⎤==−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠
此式为0，只有三种可能：
（i ）r = 0，但这导致D (r )=0, 故应舍去；
（ii ）020Zr a e −=，这也导致R 10=0, D (r )=0，应舍去；
（iii ）0010,
a Zr r a Z
−==，这就是类氢离子基态的r 的最可几半径，对于氢原子基态1s ，最可几半径就是Bohr 半径。

(2) 轨道半径平均值<r >。

以单电子原子的1s 轨道为例：
0003/23/2
2*1100322/23300003033100ˆd sin d d d d sin d d 3!34(2/)2Zr Zr a a s s r Zr a r r r e r e Z r r r e r a a Z a Z a Z ππθππϕθψψτθθφφθθπππ∞−−==∞−===+⎛⎞⎛⎞<>==⋅×⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⋅⋅=⋅∫∫∫∫∫∫∫。