（勤奋、求是、创新、奉献）2011～ 2012 学年第 一 学期考查试卷主考教师： 彭利平课程序号 班级 学号 姓名《概率论与数理统计A 》课程试卷 (A 卷)标准答案（本卷考试时间 90 分钟）题号 一 二 三 四 五 六 七 总得分题分 24 24 12 10 10 10 10 得分一、单项选择题（本题共8小题,每小题3分,共24分,将答案填在下面的横线上）1. B ；2. C ；3. D ；4. B ；5. C ；6. A ；7. A ；8. D .1.从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（ B ）.（A ）4852 （B ）548552C C （C ）54852C （D ）5548522. 设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ C ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()()()D X Y D X D Y -=- （C ）()()()D X Y D X D Y -=+. （D ）()()()D XY D X D Y =.3．如果随机变量X 的概率密度为,01()2,120,x x x x x ϕ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他 ，则P （X ≤1.5）= （ D ）（A ）1.5xdx -∞⎰（B ） 1.5(2)x dx -⎰ （C ） 1.5xdx ⎰ （D ）1 1.501(2)xdx x dx+-⎰⎰4．设随机变量X 的2(),(),E X D X μσ==用契比雪夫不等式估计{||3}P X μσ-≤（ B ）. （A ）89≤； （B ）89≥； （C ）19≤； （D ）19≥ 5．设总体2~(,)X N μσ，且μ已知、2σ未知，设123,,X X X 是来自该总体的一个样本，则下列样本的函数中是统计量的为（ C ）.（A ）21231()3X X X σ+++ （B ）1232X μX σX ++ （C ）222123X X X μ++- （D ）22123X σX X ++6．设X 的分布律为()F x 为其分布函数,则(2)F =（ A ）.（A ）0.8 （B ）0.6 （C ）0.4 （D ）0.2 7．设12,,,n X X X 是来自总体2(,N μσ）的样本，记2211()n ni i S X X n ==-∑,11n ii X X n ==∑,则)nX Y S μ-=服从的分布是（ A ）.)(A (1)t n - )(B (0,1)N )(C 2(1)n χ- )(D ()t n8. 对总体2~(,X N μσ）的均值μ作区间估计,得到置信度为0.95的置信区间,其意是指这个区间（ D ）.(A)平均含总体95%的值 (B) 平均含样本95%的值 (C) 有95%的机会含样本的值 (D) 有95%的机会含μ的值二、填空题（本题共8小题,每小题3分,共24分，将答案填在下面的横线上）1. c b - ；2. (8,97)N ；4. 314e -- ；5. 46 ；6. 1/4 ；7. 1/6 ；8. ˆˆ()()D D αβ< ．1．已知(),(),()P A a P B b P AB c ===,则()P A B = .2．设二维随机变量(,)~(1,2,4,9,0)X Y N ，则23~X Y + .3．已知随机变量~(0,2)X U ,则2Y X =在(0,4)内的概率密度函数为()Y f y = . 4. 设X 服从参数为λ的泊松分布，且3{0}P X e -==，则{1}P X >= . 5．设随机变量,,X Y Z 相互独立，其中X 在(0,6) 上服从均匀分布，Y 服从正态分布2(0,2)N ，Z 服从参数为3λ=泊松分布，记23W X Y Z =-+，则()D W = .6．设121,,X X 来自正态总体)1 ,0(N , 2129285241⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数k = 0 时，kY 服从2χ分布.7．设123,,X X X 是取自总体X 的样本,()E X μ=为未知参数,若1231132T X X kX =++是μ的无偏估计，则k =________.8. ˆα和βˆ都是参数θ的无偏估计，如果有 成立 ，则称ˆα是比βˆ有效的估计. 三、计算题（本题12分）设二维随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-,,0,0,0,2),()2(其它y x e y x f y x , (1)求出关于X 和关于Y 的边缘概率密度；（2）判断X 和Y 是否相互独立； (3) 求概率}{X Y P ≤．解：（1）⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()((2)02,00,x y edy x +∞-+⎧>⎪=⎨⎪⎩⎰其它,00,x e x -⎧>=⎨⎩其它⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()((2)02,00,x y edx y +∞-+⎧>⎪=⎨⎪⎩⎰其它22,00,y e y -⎧>=⎨⎩其他（2）因为()()()y x f y f x f Y X ,=，所以X 与Y 相互独立. (3)}{X Y P ≤(2)2xx y dx edy +∞-+=⎰⎰2200()|(1)0x yx x xe edx e e dx+∞+∞----=-=-⎰⎰312()|033x x e e --+∞=-+=四、计算题（本题10分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，试用中心极限定理计算{1430}P X ≤≤.解： ~(100,0.2)X B , ()1000.220E X =⨯=,()1000.20.816D X =⨯⨯=,20~(0,1)4X N -近似, 1420203020{1430}{}444X P X P ---≤≤=≤≤20{1.5 2.5}4X P -=-≤≤(2.5)( 1.5)≈Φ-Φ-(2.5)1(1.5)=Φ-+Φ0.99380.933210.927=+-=五、计算题（本题10分）设总体X的概率密度为1,01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其它, 其中0>θ为未知参数. 若n X X ,,1 是来自母体的简单子样，试求θ的矩估计量与极大似然估计值.解：（1） 令11110EX x dx μ====⎰解得 2111μθμ⎛⎫= ⎪-⎝⎭所以θ的矩估计量为 2ˆ1θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭X X （2）似然函数 ()()1,n ii L f x θθ==∏)11211(nnni i i x θ====∏∏对数似然函数 ())1ln ln 1ln 2θθ==+∑nii nL x令()121ln 1ln 022ni i d L n x d θθθθ-==+=∑ 解得θ的极大似然估计值为 221ˆln θ==⎛⎫⎪⎝⎭∑ni i n x六．计算题（本题10分）某化工厂为了提高某种化学药品的得率，提出了两种工艺方案，为了研究哪一种方案好，分别对两种工艺各进行了10次试验，计算得65.96x =，21 3.351s =，69.43y =，22 2.246s =，假设得率均服从正态分布，且方差相同，问方案乙是否能比方案甲显著提高得率 ？解：由x y <知，原假设012:H μμ≥备择假设：112:H μμ<， 检验统计量：2211221212(1)(1)112X YT n S n Sn n n n =-+-++-拒绝域：12{2}W T t n n α=≤-+-（） 1210n n ==，0.01,α=120.01218 2.5524αt n n t +-==（）（）， 拒绝域：{ 2.5524}W T =≤-，1211110.44721010n n +=+=， 22112212(1)(1)9 3.3519 2.2461.6729218n S n S n n -+-⨯+⨯==+-，65.9669.434.6383 2.55240.4472 1.6729t -==-<-⨯，t W ∈，所以拒绝0H ，认为方案乙比方案甲显著提高得率．七．计算题（本题10分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间X （秒）和 腐蚀深度Y （毫米）的数据见下表：X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46(1)计算xx L , yy L , xy L ；(2) 计算样本相关系数r ，并判断其相关方向和密切程度；（3）求变量y 倚x 的线性回归方程. （计算结果保留到小数点后四位）解：(1)， 1495n i i x ==∑，2135875n ii x ==∑，2211113600nn xx i i i i L x x n ===-=∑∑（）1208n i i y ==∑，215398n ii y ==∑，22111()1464.9091nnyy i i i i L y y n ===-=∑∑ 113755ni i i x y ==∑，11114395nnnxy i i i i i i i L x y x y n ====-⋅=∑∑∑(2) L r=0.9847==0.8>所以Ｘ与Ｙ高度线性相关且正相关 （3）45x =,18.9091y =4395ˆ0.323213600xy xx L bL ===， ˆˆ18.90910.323245 4.3651ay bx =-=-⨯=，ˆˆˆ 4.36510.3232 =+=+y a bx x.。