0 1 2 C4 C 4 C4
3 4 C4 C4
0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 C5 0 2 3 4 5 6 1 C6 C 6 C6 C6 C6 C6 C6
1
1
r n
5 10 10 5 1
6 15 20 15 6
r 1 n
1
…………………C
r n 1
C C
上面的表叫做二项式系数表
(1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
2、 已知
x
4
1 x3
数最大，求第五项。
的展开式中只有第10项二项式系
n
变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？
小结:
（1）二项式系数的三个性质 （2） 数学思想：函数思想 a 图象； b 单调性； c 最值。
对称性 增减性与最大值 各二项式系数和
Tr 1 C a b
r nr r n
2、什么叫二项式系数？项的系数？它们之 间有什么不同？
(a+b)1 (a+b)2
(a+b)3
0 1 C1 C1
0 1 2 C2 C 2 C2 0 1 C3 C3 2 3 C3 C3
1 1 1 1 1 4 2 3 3 6 4 1 1 1
(a+b)4
(a+b)5 (a+b)6
赋值法
在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
0 n
n
同时由于C 1 ，上式还可以写成：
C C C C 2 1
1 n 2 n 3 n n n n
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项的 系数相同的项是( C ). A 第15项 C 第17项 B 第16项 D 第18项
2、在(a＋b)10展开式中，系数最大的项是( A ).
A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项
3、在(a＋b)13展开式中，系数最大的项是( C ). A 第6项 B 第7项 C 第证明在 (a b) 的展开式中，奇数 项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系 数的和．
( x y )11 的展开式中，写出（1）通项； 例2 在 （2）二项式系数最大的项；（3）项的系数绝对 值最大的项；（4）项的系数最大的项；（5）项 的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7） 各项系数的和。
练一练：
1、已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
n
解： 在展开式中，令 a 1, b 1
得 (1 1)
n
0 1 2 3 n n C n C n C n C n ( 1) C n
0
n
0 1 2 3 n n C n C n C n C n ( 1) C n
0 2 1 3 Cn Cn Cn Cn 2n1
杨辉三角
《 九 章 算 术 》
杨 辉
杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
1、二项展开式及其通项
( a b) C a C a b C a b C b ( n N )
n 0 n n n n n
1 n 1 1 n
r n r r n