【综合能力训练】
一、选择题
1.角α≠4
π是tan α≠1的（ ）。
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.以上都不对
2.若y=sinx 是减函数，且y=cosx 是增函数，那么角x 所在的象限是（ ）。
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.下列函数中为奇函数的是（ ）。
A.y=x
x x x cos cos 22-+ B.y=x x cos 1cos 1+- C.y=2x sin D.y=lg(sinx+x 2sin 1+)
4.要得到函数y=cos(2x －
4
π)的图像，只须将函数y=sin2x 的图像（ ）。
A.向左平移8π个单位 B.向右平移8
π个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4
π个单位 5.已知cos(π+α)= －21,23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）。
A. 21 B. ±23 C.23 D.－2
3 6.函数f(x)=x
x x x cos sin 1cos sin ++的值域是（ ）。
A.[－2－1，1]∪[－1, 2－1] B.[－212+,2
12-] C.[－22－1, 22－1] D.[－
212+,－1)∪(－1, 212-] 7.若α与β是两锐角，且sin(α+β)=2sin α，则α、β的大小关系是（ ）。
A.α=β
B.α<β
C. α>β
D.以上都有可能
8.下列四个命题中假命题是（ ）
A.存在这样的α和β，使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
B.不存在无穷多个α和β，使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C.对于任意的α和β，都有cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β
D.不存在这样的α和β，使得cos(α+β) ≠cos αcos β －sin αsin β
9.若sinxcosy=
2
1，则P=cosxsiny 的值域是（ ）。
A.[－23，21] B.[－21，21] C.[－21，23] D.[－1，1]
10.关于x 的方程x 2－xcosAcosB －cos 2
2
C =0有一个根为1，则在△ABC 中一定有（ ）。
A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.∠B=∠C D. ∠A+∠B=2
π 11.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，若cos 2C B -<cos 2''C B -，则下列关系正确的是（ ）。
A.B －C>B ′－C ′
B.|B －C|>|B ′－C ′|
C.B －C<B ′－C ′
D.|B －C|<|B ′－C ′|
12.函数y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是（ ）。
A.521 B.621 C.7 D.8
13.在0≤x ≤2π范围内，方程cos2x=cosx(sinx+|sinx|)的解的个数是（ ）。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
14.函数y=sinx,x ∈[2π,2
3π]的反函数为（ ）。
A.y=arcsinx,x ∈[－1,1] B.y= －arcsinx,x ∈[－1,1]
C.y=π+arcsinx,x ∈[－1,1]
D.y=π－arcsinx,x ∈[－1,1]
二、填空题
15.已知sin α=215-，则sin2(α－4π)= 。
16.在△ABC 中，a 、b 分别是角A 和角B 所对的边，若a=3,b=1，B 为30°，则角A 的值是 。
17.函数y=sin 2x+2cosx ，(3π≤x ≤32π)的最小值是 。
18.函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=π－arccos(sinx)，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)= 。
三、解答题
19.求下列函数的定义域和值域：
（1）y=(arcsinx)2+2arcsinx －1
（2）y=arcsin(－x 2－x+
41)
20.在△ABC 中，已知sinBsinC=cos 22
A ，试判断此三角形的形状。
21.若sinx+siny=53,cosx+cosy=5
4 （1）求cos(x+y)的值；
（2）求cosx ·cosy 的值。
22. △ABC 的角A 、B 、C 分别对应边长为a 、b 、c ，若A 、B 、C 成等差数列；
（1）比较a+c 和2b 的大小；
（2）求cos 2A+cos 2C 的范围。
23.如图，在平面直角坐标系中，y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B ，试在x 轴正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值。
24.设三角函数f(x)=asin(5kx +3
)(其中a ≠0,k ≠0)； （1）写出f(x)的最大值M ，最小值m 和最小正周期T ；
（2）试求最小正整数k ，使得当自变量x 在任意两个奇数间（包括奇数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m ；
（3）若a=1，根据（2）得到的k 值，用“五点法”作出此函数f(x)的图像（作一周期的图
像）。
参考答案
【综合能力训练】
1.B
2.C
3.D
4.A
5.C
6.D
7.B
8.B
9.B 10.A 11.B 12.C 13.D 14.D 15.2－5 16.60°或120° 17.－
4
1 18.f(x)= － arccos(sinx)(x<0)
19.解 （1）∵y=(arcsinx+1)2 – 2,arcsinx ∈[－2π,2π],∴y ∈[－2, 42π+π－1]，又易知其定义域为x ∈[－1,1]。
(2)y=arcsin[－(x+
21)2+21]。
令－x 2－x+41≥－1 得261--≤x ≤261+-。
由－1≤－x 2－x+41≤21得y ∈[－2π,6
π]。
20.解 由已知得2sinBsinC=1+cosA
即2sinBsinC=1－(cosBcosC －sinBsinC)，
∴cos(B －C)=1 得B=C 。
∴此三角形是等腰三角形。
21.解 （1）由已知条件得
432tan 542cos 2cos 2532cos 2sin
2=+⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-+=-+y x y x y x y x y x ， ∴cos(x+y)=25
7。
（2）已知两式两边平方相加得 2+2cos(x －y)=1⇒cos(x －y)= －
21 ∴cosxcosy=21[cos(x+y)+cos(x －y)]= －100
11。
22.解 （1）B=60°=2C A +，故2sin 2
B = 1。
∴a+c=2R(sinA+sinC)=2R ·2sin 2
C A +cos 2C A -≤2R ·2cos 2B ·1=2R ·22sin 2B cos 2
B =
2KsinB=2b
即a+c ≤2b(当且仅当cos 2C A -=1,即三角形为等边三角形时取等号)。
（2）C=120°－A ，且－120°<2A －120°<120°
∴cos 2A+ cos 2C=
21 (1+cos2A)+ 21[1+cos2(120°－A)] =1+2
1 [cos2A+cos2(120°－A)] =1－2
1cos(2A －120°) ∵]1,2
1()1202cos(-∈︒-A ∴21≤cos 2A+ cos 2C<4
5。
23.[解] 设A(0,a),B(0,b),C(c,0)。
则K AC =
c a --00=－c
a K BC =c
b --00=－c
b ∴tan ∠ACB=)()(1)(
c b c a c a c b -⋅-+---=c ab c b a +- ∵c>0,a>b>0。
∴a －b>0,c+c
ab ≥2ab ∴tan ∠ACB ≤
ab b
a 2- 当且仅当c=c
ab ,即c=ab 时上式取等号，即当c 点坐标为（ab ,0）时，∠ACB 取得最大值arctan ab
b
a 2-（a>b>0）。
24.解 （1）T=|
|10k π
当a>0时，M=a,m= －a 。
当a<0时，M= －a,m= a 。
（2）即要周期|
|10k ≤2，得|k|≥5π。
∴最小正整数k=16。
（3）略。