（2）由题意得： y x2 2 ，令 y=0，得：x=
2 ，∴
S= 1 2 2
2 2 =
x1 x2
；
（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与 x 轴交于点（0，0）和（2b，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵ y＝－x2＋2bx= (x b)2 b2 ，∴ 顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P 点的横坐标为 4 或 5+ 41 或 2
5- 41 ；②点 M 的坐标为（ 13 ，﹣ 17 ）或（ 23 ，﹣ 7 ）．
2
66
66
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定 C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛 物线解析式； （2）①先解方程-x2+6x-5=0 得 A（1，0），再判断△ OCB 为等腰直角三角形得到
AC 的解析式为 y=5x-5，E 点坐标为（ 1 ，- 5 ），利用两直线垂直的问题可设直线 EM1 的 22
解析式为 y=- 1 x+b，把 E（ 1 ，- 5 ）代入求出 b 得到直线 EM1 的解析式为 y=- 1 x- 12 ，则
5
22
55
y＝x 5
解方程组
y＝
1 5
x
12 5
得
当 y=0 时，x﹣5=0，解得 x=5，则 B（5，0），
把 B（5，0），C（0，﹣5）代入 y=ax2+6x+c 得
25a 30 c 0
a 1
c 5
，解得 b 5 ，
∴ 抛物线解析式为 y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0 得 x1=1，x2=5，则 A（1，0），
【详解】 ．解：（1）将点 A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，
，解得：
，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2﹣x．
（2）证明：设直线 AF 的解析式为 y=kx+m， 将点 A（﹣1，2）代入 y=kx+m 中，即﹣k+m=2， ∴ k=m﹣2， ∴ 直线 AF 的解析式为 y=（m﹣2）x+m． 联立直线 AF 和抛物线解析式成方程组，
时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当 P 点在直线 BC 下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分 别解方程即可得到 P 点的横坐标； ②作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1，交 AC 于 E，如图 2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠ AM1B=2∠ ACB，再确定 N（3，-2），
55
得
x 13 6
y 17 6
，则
M1（
13 6
，﹣
17 6
）；
作直线 BC 上作点 M1 关于 N 点的对称点 M2，如图 2，则∠ AM2C=∠ AM1B=2∠ ACB， 设 M2（x，x﹣5），
∵
3=
13 6
+x
2
∴ x= 23 ， 6
∴ M2（ 23 ，﹣ 7 ）. 66
综上所述，点 M 的坐标为（ 13 ，﹣ 17 ）或（ 23 ，﹣ 7 ）．
∵ B（5，0），C（0，﹣5），
∴ △ OCB 为等腰直角三角形，
∴ ∠ OBC=∠ OCB=45°，
∵ AM⊥BC，
∴ △ AMB 为等腰直角三角形，
∴ AM= 2 AB= 2 ×4=2 2 ，
2
2
∵ 以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM∥ PQ，
∴ PQ=AM=2 2 ，PQ⊥BC，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得 m1= 5+ 41 ，m2= 5- 41 ，
2
2
综上所述，P 点的横坐标为 4 或 5+ 41 或 5- 41 ；
2
2
②作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1，交 AC 于 E，如图
2，
∵ M1A=M1C， ∴ ∠ ACM1=∠ CAM1， ∴ ∠ AM1B=2∠ ACB， ∵ △ ANB 为等腰直角三角形， ∴ AH=BH=NH=2， ∴ N（3，﹣2），
，解得：
或
，
∴ 点 G 的坐标为（m，m2﹣m）． ∵ GH⊥x 轴， ∴ 点 H 的坐标为（m，0）． ∵ 抛物线的解析式为 y=x2﹣x=x（x﹣1）， ∴ 点 E 的坐标为（1，0）． 过点 A 作 AA′⊥x 轴，垂足为点 A′，如图 1 所示． ∵ 点 A（﹣1，2）， ∴ A′（﹣1，0）， ∴ AE=2，AA′=2．
（3）根据“抛物线三角形”定义得到 y＝－x2＋2bx，它与 x 轴交于点（0，0）和（2b， 0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b，b2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
b2 1 2b ，解方程即可得到结论； 2
（4）分两种情况讨论：①当抛物线为 y＝－x2＋2x 时，②当抛物线为 y＝－x2－2x 时． 详解：（1）当△ ＞0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故 此命题为假命题；
则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即 a(a 2) a 2 ．
∵ a+2≠0，∴ a 1，∴ a=±1，∴ P（1，－3，）或（－1，1）．
综上所述：P（1，1）或 P（－1，－3）或 P（1，－3，）或（－1，1）． 点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题 的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．
(填“真”或“假”)命题；
(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为
；
(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的
解析式；
(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为 A，与 x 轴交于 O，B 两点，在抛物线上是否存在一
点 P，过 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q，使得△ BPQ∽ △ OAB？如果存在，求出 P 点坐标；如果不存
【答案】(1)抛物线的解析式为 y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为
或
秒时，QM=2PM．
【解析】 【分析】 （1）（1）A，B 的坐标代入抛物线 y=ax2+bx 中确定解析式； （2）把 A 点坐标代入所设的 AF 的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得 G 点坐 标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行； （3）具体见详解.
边的一半得到： b2 1 2b ，∴ b2 b ，解得：b＝0（舍去）或 b＝±1， 2
∴ y＝－x2＋2x 或 y＝－x2－2x． （4）①当抛物线为 y＝－x2＋2x 时． ∵ △ AOB 为等腰直角三角形，且△ BPQ∽ △ OAB， ∴ △ BPQ 为等腰直角三角形，设 P（a，－a2＋2a），∴ Q（（a，0），
解得：t=
．
综上所述：当运动时间秒
或
时，QM=2PM．
【点睛】 本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.
3．如果一条抛物线 y＝ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交
点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．
(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是
易得 AC 的解析式为 y=5x﹣5，E 点坐标为（ 1 ，﹣ 5 ， 22
设直线 EM1 的解析式为 y=﹣ 1 x+b， 5
把 E（ 1 ，﹣ 5 ）代入得﹣ 1 +b=﹣ 5 ，解得 b=﹣ 12 ，
22
10
2
5
∴ 直线 EM1 的解析式为 y=﹣ 1 x﹣ 12 55
解方程组
y
y x5 1 x 12
∴ =1， = =1，
∴= ，
∵ ∠ AA′E=∠ FOH， ∴ △ AA′E∽ △ FOH， ∴ ∠ AEA′=∠ FHO， ∴ FH∥ AE．
（3）设直线 AB 的解析式为 y=k0x+b0，
将 A（﹣1，2）、B（3，6）代入 y=k0x+b0 中，得
，解得：
，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=x+3， 当运动时间为 t 秒时，点 P 的坐标为（t﹣3，t），点 Q 的坐标为（t，0）． 当点 M 在线段 PQ 上时，过点 P 作 PP′⊥x 轴于点 P′，过点 M 作 MM′⊥x 轴于点 M′，则 △ PQP′∽ △ MQM′，如图 2 所示， ∵ QM=2PM，
在，请说明理由．
【答案】（1）假；（2） 2 2 ；（3）y＝－x2＋2x 或 y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或 P
（－1，－3）或 P（1，－3）或（－1，1）． 【解析】 分析：（1）当△ ＞0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，由此可得出结论；
（2）根据“抛物线三角形”定义得到 y x2 2 ，由此可得出结论；
∠ OBC=∠ OCB=45°，则△ AMB 为等腰直角三角形，所Hale Waihona Puke AM=2 2 ，接着根据平行四边形的
性质得到 PQ=AM=2 2 ，PQ⊥BC，作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，如图 1，利用∠ PDQ=45°得
到 PD= 2 PQ=4，设 P（m，-m2+6m-5），则 D（m，m-5），讨论：当 P 点在直线 BC 上方
作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，如图 1，则∠ PDQ=45°，