一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，直线 l：y＝﹣3x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，抛物线 y＝ax2﹣2ax+a+4 （a＜0）经过点 B，交 x 轴正半轴于点 C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，连接 AM、BM，设点 M 的横坐标为 m，△ ABM 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值及此时动 点 M 的坐标； （3）将点 A 绕原点旋转得点 A′，连接 CA′、BA′，在旋转过程中，一动点 M 从点 B 出发， 沿线段 BA′以每秒 3 个单位的速度运动到 A′，再沿线段 A′C 以每秒 1 个单位长度的速度运动 到 C 后停止，求点 M 在整个运动过程中用时最少是多少？
44
2
且二次函数图象的开口向下，顶点 M 在直线 y 4x 1上
综上：①当 0
b
1 2
时，
y1
y2
；②当 b
1 2
时，
y1
y2
；③当
1 2
b
4 5
时，
y1 y2 .
【点睛】 本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.
3．（10 分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡 O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函 数 y=﹣x2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数 y= x 刻画．
∵ 点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，点 M 的横坐标为 m， ∴ 0＜m＜3，点 M 的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， 将 y＝0 代入 y＝﹣3x+3，得 x＝1， ∴ 点 A 的坐标（1，0）， ∵ △ ABM 的面积为 S，
∴ S＝S 四边形 OAMB﹣S△ AOB＝S△ BOM+S△ OAM﹣S△ AOB＝ 3 m 1 m2 2m 3 1 3 ，
解：（1）令 y=0，则 mx2 2mx 3m 0 ，
∵ m＜0，∴ x2 2x 3 0 ，解得： x1 1， x2 3 ．
∴ A（ ，0）、B（3，0）． （2）存在．理由如下：
∵ 设抛物线 C1 的表达式为 y a x 1x 3 （ a 0 ），
把 C（0， 3 ）代入可得， a 1 ．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标； （2）小球的落点是 A，求点 A 的坐标； （3）连接抛物线的最高点 P 与点 O、A 得△ POA，求△ POA 的面积； （4）在 OA 上方的抛物线上存在一点 M（M 与 P 不重合），△ MOA 的面积等于△ POA 的 面积．请直接写出点 M 的坐标．
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B 两点随图象移至 A′、B′，求△ O
A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与 x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）
15. 【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将 B
线 PM 的解析式为 y= x+b，将 P（2，4）代入，求出直线 PM 的解析式为 y= x+3．再与抛
物线的解析式联立，得到方程组
，解方程组即可求出点 M 的坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的最高点 P 的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：
又∵ B(0,5) 在抛物线上，∴ 5 (0 b)2 4b 1 ，解得 b 2
∴ 二次函数的表达式为 y (x 2)2 9
∴ 当 y 0 时，得 x1 5 ， x2 1 ∴ A(5, 0) 代入 y mx 5 得， 5m 5 0 ，∴ m 1 （2）如图 2，根据题意，抛物线的顶点 M 为 (b, 4b 1) ，即 M 点始终在直线 y 4x 1
2
2
2
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的 求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的 面积的求解方法等是解题的关键.
5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为 x 轴上两点，C、D 为 y 轴上的两点，经
过点 A、C、B 的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C2 组合成一条封 闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点 C 的坐标为（0， ），点 M 是抛物线 C2：
（2）如图
2，点
A
坐标为 (5, 0)
，点
M
在
AOB
内，若点 C(1 4
,
y1 )
，
D( 3 4
,
y2 )
都在二次
函数图象上，试比较 y1 与 y2 的大小.
【答案】（1）
y
(x
2)2
9,m
1；（2）①当 0
b
1 2
时，
y1
y2
；②当
b
1 2
时，
y1
y2 ；③当
1 2
b
4 5
时，
y1
y2
【解析】
【分析】
y mx2 2mx 3m （ m ＜0）的顶点．
（1）求 A、B 两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使得△ PBC 的面积最大？若存在，求出△ PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△ BDM 为直角三角形时，求 m 的值． 【答案】（1）A（ ，0）、B（3，0）．
点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令 x=0，可求得抛物线与 y 轴的交点坐标；令 y=0，可求得抛物线
与 x 轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与 x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与 x 轴负
半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出 A′、B′的坐标．由于△ OA′B′不
（3）设抛物线与 x 轴的交点为 M、N（M 在 N 的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M 与 O 重合，因此抛物线向右平移了 3 个单位，
故 A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴ S△ OA′B′= 1 ×（2+5）×9﹣ 1 ×2×4﹣ 1 ×5×5=15．
上，
∵ 直线 y 4x 1与直线 AB 交于点 E ，与 y 轴交于点 F ，而直线 AB 表达式为
y x 5
解方程组
y y
4x x
1 5
，得
x y
4 5 21
5
∴ 点 E( 4 , 21) ， F(0,1) 55
∵ 点 M 在 AOB 内，∴ 0 b 4 5
当点 C, D 关于抛物线对称轴（直线 x b ）对称时， b 1 3 b ，∴ b 1
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S 与 m 的函数表达式是 S＝ m2 5m ，S 的最大值是 2
25 ，此时动点 M 的坐标是（ 5 ， 7 ）；（3）点 M 在整个运动过程中用时最少是 82
8
24
3
秒．
【解析】
【分析】
（1）首先求出 B 点的坐标，根据 B 点的坐标即可计算出二次函数的 a 值，进而即可计算 出二次函数的解析式; （2）计算出 C 点的坐标，设出 M 点的坐标，再根据△ ABM 的面积为 S＝S 四边形 OAMB﹣S△ AOB ＝S△ BOM+S△ OAM﹣S△ AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可. （3）首先证明△ OHA′∽ △ OA′B，再结合 A′H+A′C≥HC 即可计算出 t 的最小值. 【详解】
2
2
∴ Ｃ1 的表达式为： y 1 x 1x 3 ，即 y 1 x2 x 3 ．
2
2
2
设 P（p， 1 p2 p 3 ），
2
2
2
化简，得
S＝
m2
2
5m
＝
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
m
5 2
2
25 8
，
∴ 当 m＝ 5 时，S 取得最大值，此时 S＝ 25 ，此时点 M 的坐标为（ 5 ， 7 ），
2
8
24
即 S 与 m 的函数表达式是 S＝ m2 5m ，S 的最大值是 25 ，此时动点 M 的坐标是
2
8
（ 5 ， 7 ）； 24
（1）根据一次函数表达式求出 B 点坐标，然后根据 B 点在抛物线上，求出 b 值，从而得
到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出 A 点的坐标，最后代入一次函数求出 m 值.
（2）根据解方程组，可得顶点 M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
（1）如图 1，∵ 直线 y mx 5 与 y 轴交于点为 B ，∴ 点 B 坐标为 (0, 5)
设直线 PM 的解析式为 y= x+b， ∵ P 的坐标为（2，4），
∴ 4= ×2+b，解得 b=3，
∴ 直线 PM 的解析式为 y= x+3．
由
，解得
，
，
∴ 点 M 的坐标为（ ， ）．
考点：二次函数的综合题 4．已知二次函数的图象以 A（﹣1，4）为顶点，且过点 B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
，解得：
，或
．
故可得点 A 的坐标为（ ， ）； （3）如图，作 PQ⊥x 轴于点 Q，AB⊥x 轴于点 B．
S△ POA=S△ POQ+S△ 梯形 PQBA﹣S△ BOA