5、对因子做出解释
以上的步骤，大部分可由软件都可替你做好。 但最主要的步骤5，却是要使用者自行依照自 己的专业判断来执行
五、SPSS软件中的因素分析
从菜单上选择<Analyze>的<Data Reduction>下的<Factor> 命令，即打开了因 素分析的主对话框，在主对话框中，有指定 参与因素分析的变量，还有五个子对话框可 供选择。 分别是<Descriptives>、<Extraction>、 <Rotation>、<Score>、<Options>
y
y’ x’
z’ x z
一般来说，转轴的方法有两大类：正交转 轴法和斜交转轴法 正交旋转是使因子轴之间仍然保持90度角， 即因子之间是不相关的
斜交旋转中，因子之间的夹角可以是任意 的，即因子之间不一定是正交的
正交旋转(orthogonal rotation)方法主要包 括：方差最大法(varimax)、四次方最大法 (quartimax)、等量最大法(equimax)
②因子个数的确定
有两个方法：一个是特征值准则，即取特征 值大于等于1的主成分或公因子作为初始因 子，放弃特征值小于1的
二是碎石检验准则(scree test criterion) ，这种图的形状 像一个山峰，从第一个因子开始，曲线迅速下降，然 后下降变得平缓，最后变成近似一条直线，曲线变平 开始的前一个点认为是提取的最大因子个数
附近，且各坐标轴附近积聚的变量数或者各因素的累计贡献 应大致平均。二维坐标系中，正交旋转只需把坐标轴旋转到 尽可能接近变量处即可。多维坐标系将因子空间分解成多个 二维平面，分别进行简单结构的旋转，直到得出稳定、一致 的结果。
对旋转的理解
降维的过程就通过旋转坐标，把方差最大方 向做为坐标，而淘汰方差较小的纬度，这样 就可以将N维空间的问题转化为一维空间的 距离问题。
A =
三、基本概念
因素(factor)和因素负荷 公因子方差或共同度 特征值(eigenvalues)和因子的贡献（解 释量）
1、因素(factor)和因素负荷
潜在变量、假想变量
在因素分析中，通过研究众多变量之间的内部 依赖关系，然后用少数几个假想变量来表示基 本的数据结构，这些假想变量能够反映原来众 多的观测变量所代表的主要信息，并解释这些 观测变量之间的相互依存关系，我们把这些假 想变量称之为因素。
3、特征值和因子的贡献（解释量）
每个公因子对数据的解释能力，可以用该 因子所解释的总方差来衡量，通常称为该 因子的贡献(contributions) ，记为Vp 它等于和该因子有关的因子负荷的平方和， 即Vp=∑a2ip
实际中更常用相对指标，即因子贡献率， 用每个因子所解释的方差占所有变量总方 差的比例来表示
3、因子旋转
因素分析的目的不仅是求出公因子，更主要的 是要知道每个因子的意义。通过坐标变换使因 子解的实际意义更容易解释
一般因素分析得到的结果往往是很难加以解释 的 ，当某些变量同时在几个因子上都有相当程 度的负荷量时，因子的解释工作就更加困难
因子旋转的目的是通过改变坐标轴的位置， 重新分配各个因子所解释的方差的比例， 使因子结构更简单，更易于解释
方差最大法（Varimax）：使各因子（列） 上与该因子有关的负荷平方的方差最大， 即拉开列上各变量的负荷差异，最常用
斜交旋转(oblique rotation)方法，比正交旋转 更具有一般性，它没有因子之间是不相关的这 个限制，主要是直接斜交旋转(Direct Oblimin)、 快速斜交旋转法(Promax)
f1
a11 a12
x1
u1
f2
…
x2
…
u2
…
a1m
Fm
xk
uk
图1 因素分析模型
因素分析模型，是每个观测变量由一组因素的 线性组合来表示，设有k个观测变量（此为标 准化变量），分别为x1，x2，…，xk，其中xi 为具有零均值、单位方差的标准化变量
因素模型的一般表达形式为： xi=ai1f1+ai2f2+…+aimfm+ui (i=1，2，…，k) x1 =a11f1+a12f2+…+a1mfm+u1 x2=a21f1+a22f2+…+a2mfm+u2 … xk=ak1f1+ak2f2+…+akmfm+uk
这个模型，称为因子模型，在该模型中：
(1) f1，f2，…，fm叫做公因子(common factors)，它们是各个观测变量所共有的因 子，解释了变量之间的相关。公共因子都 是均值为0，方差为1的变量。
(2) ui称为特殊因子(unique factor)，它是每 个观测变量所特有的因子，只和xi有关，相 当于残差，表示该变量不能被公因子所解释 的部分。代表公因子以外的影响因素，实际 分析时忽略不计。特殊因子的均值为0。
心理测量学
第十四讲 因素分析
一、概述
心理测验通常显示出从中度到高度的正相 关
假设：设计的两个测验是测量阅读理解和 词汇的，两者之间的相关是0.53 请问：为什么这些测验是相关的
也许：它们相关是因为它们都测量了非常多 的相同东西——言语能力 归纳推理：通过注意到两个测验似乎拥有共 同的特征，鉴别出言语能力这个更一般的、 抽象的、普通的变量 进行因素分析是达到相同结果的一个统计方 法
当因素分析被运用到表1所表示的相关时， 结果与我们通过对这些相关进行日常分析 的结果是非常相似的
表2 对表1中的相关进行一个因素分析的结果
变量 阅读理解
因素负荷
因素1
0.88
因素2
0.09
词 汇
图形旋转
0.76
0.04
0.15
0.72
分解图形
0.20
0.78
这个分析表明，这里有两个不同的因素 因素负荷，或最初的四个测验和这两个因素之 间的相关标示在表2中 阅读理解和词汇与第一个因素显示出高相关， 与第二个因素显示出低相关 FR和EF都与第二个因素显示出高相关，但 是与第一个因素显示出低相关
(3) aij称为因子负荷(factor loadings)，它是 第i个变量xi在第j个公因子fj上的负荷。因素 负荷或因素载荷，实质就是公因子fj和变量 xi的相关系数。矩阵A=（aij）称为因子载荷 矩阵。 a11 a21 … ak1 a12 a22 … ak2 … a1m … a2m … … … akm
公因子方差反映的是单个变量被所有公因 子解释的部分比例，因子贡献反映的则是 单个因子解释的数据总方差
四、因素分析的步骤
首先，计算所有变量的相关矩阵 第二步是提取因子
第三步是进行因子旋转
第四步是计算因子值 第五步是解释因子
1、计算相关矩阵
计算所有变量之间的相关系数，得到相关矩阵 R 根据计算出的相关矩阵还应该进一步判断应用 因子分析方法是否合适
当公因子之间彼此正交时，公因子方差等于和 该变量有关的因子负荷的平方和，用公式表示 为：hi2=ai12+ai22+…+aim2
如何理解公因子方差呢？ 请回忆一下测定系数或决定系数 负荷系数的平方就是变量xi与因子fj的共同变 异
m个公因子对第i个变量方差的贡献称为第i个 变量的共同度 表示全部公因子对变量xi的总方差所做出的贡 献
在实际应用中，由于斜交旋转的结果太容易受 研究者主观意愿的左右，所以建议尽量采用默 认的正交旋转
4、计算因子值
因子值是各个因子在每个案例上的得分值，有 了因子值可以在其他的分析中使用这些因子 求解因子值的方法主要有：回归法、Bartlett法 和Anderson-Rubin法 ，一般使用回归法
二、因素分析数学模型
因素分析是通过研究多个变量间相关系数矩阵（协 方差矩阵）的内部依赖关系，找出能综合所有变量 的少数几个随机变量，这几个随机变量是不可测量 的，通常称为因子，或因素，然后根据相关性的大 小把变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高， 但不同组的变量相关性较低。
各个因子间互不相关，所有变量都可以表示成 公因子的线性组合，因素分析的目的就是减少 变量的数目，用少数因子代替所有变量去分析 整个问题
特征值 a112+a212+a312 a122+a222+a322+
+a412+a512 a422+a522 解释量 (a112+a212+a312 (a122+a222+a322 +a412+a512) +a422+a522) ÷5 ÷5
因素模型： x1=a11f1+a12f2 +u1 x2=a21f1+a22f2 +u2 x3=a31f1+a32f2 +u3 x4=a41f1+a42f2 +u4 x5=a51f1+a52f2 +u5
在各因子上只有少数变量有较高的负荷，其它变 量上的负荷（绝对值）很低 任取两因子，每个变量只能在一个因子上有较高 负荷
简言之，就是调整因素负荷矩阵式中的 行、列值向0和1极化，使某些变量的负 荷尽可能往某个因子上集中，而另一些 变量的负荷尽可能往另一个因子上集中
• 旋转图解：良好的旋转应当使得变量向量尽可能落在坐标轴
