10.8 为什么在振动过程中振动物体在平衡位置时动能最大,而势能为零；在最大位移处 动能为零,而势能最大？为什么在波动过程中参与波动的质点在振动时 ,却是在平衡位置动能 和势能同时达到最大值,在最大位移处又同时为零？
答 ：在振动过程中振动Байду номын сангаас体在平衡位置时其速率最大，位移为零，故动能最大而势能为 零；在最大位移处，由于振动物体位移最大，速率为零，故其动能为零，而势能最大。
10.23 火车汽笛的频率为ν ，当火车以速度 V 通过车站上的静止观察者身边时，观察者
所接受到的笛声频率的变化为多大？已知声速为 u。
解 ：火车驶向站台时，波源向着观测者，则频率
ν'
=
u
u −V
当火车驶离站台时，波源背离观测者，则频率
ν
'
'
=
u
u +
V
那么火车通过站台，观擦者所接受到的笛声频率的变化为
在波动过程中参与波动的质点在振动时，在平衡位置，质点的速率最大，同时此处媒质 的弹性形变也最大，故平衡位置处动能和势能同时达到最大值；在最大位移处，质点的速率 为零，同时弹性形变也为零，故动能和势能同时为零。
10.９ 在某一参考系中,波源和观察者都是静止的,但传播的介质相对与参考系是运动的. 假设发生了多普勒效应,问接收到的波长和频率如何变化？
第 10 章 波动学基础
10.1 波动与振动有何区别和联系？ 答 ：振动的传播就是波。振动是一质点（或某一物量）在平衡位置附近的机械运动，而 波是多个质点在平衡位置附近的振动，它是通过媒质的弹性（或场量的相互激发）把波源的
振动状态传递给其他质点。振动中，质点的动能和势能互相交换，其总能量保持不变。而在波
450。已知波速为 15cm/s，试求波的频率和波长。
解：波长可看成是沿波射线相位差 2π 的两点间的距离，则由题知其波长为
λ
= 2π
⋅
3.5 π /4
= 28 cm
，
进而可求得波的频率为
ν
=λu
=
15 28
=
0.54Hz
10.14 证 明 y = A cos(kx −ω t) 可 写 成 下 列 形 式 ： y = A cos k(x −u t) ，
10.7（1）为什么有人认为驻波不是波？（2）驻波中,两波节间各个质点均作同相位的简
谐振动,那么,每个振动质点的能量是否保持不变？
答 ：（1）有人认为驻波不是波，是因为在驻波中，波腹附近的动能与波节附近的势能
1
之间不断进行互相转换和转移，但没有能量的定向传播，同时也看不到波形的定向移动。 （2）驻波中，两波节各质点虽作同相位简谐振动，但每个振动质点的能量并非保持不变。
点的合振动的振幅。
P
解 ：如图取 PQ 连线的延长线方向为 x 轴正向，
Q
3λ / 2
R x
x
4
10.21 题示图
以 P 点为坐标原点，设两振动的初相为ϕ0
自 P 和 Q 发出的波在 R 点引起的振动的相位分别为
ϕp
= ϕ0
+ω
t
− 2π
x1 λ
；ϕQ = ϕ0 + ω t − 2π
x2 λ
则相位差
10.22 弦线上的驻波相邻波节的距离为 65cm，弦的振动频率为 2.3 ×102 Hz 。求波的传
播速率 u 和波长 λ 。
解 ： 驻 波 相 邻 波 节 的 距 离 为 半 波 长 ， 则 λ / 2 = 65cm = 0.65m ，
∴波长 λ = 2 ×0.65 =1.3 m
波速为 u =λν =1.3×2.3×102 =3.0 ×102 m/s
动中动能和势能大小相等，相位相同，都是时间的周期函数。它不断地接受来自波源的能量，
同时也不断地把能量释放出去。
10.2 机械波形成的条件是什么？
答：机械波形式的条件有：1）存在波源(即物体的振动）；2) 存在传播机械波的弹性媒
质。
10.3 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波,它们的波长是否可能相等？为什么？
ν
=
ω 2π
=
2π 2π
= 1 Hz ；
波
长
3
（2）振动速率υ
=
∂y ∂t
= −2π ×10 sin(t
−5.0 ×10−3 x)
则绳上某质点的最大恒向振动速率为：υm = 2π ×10 = 63 cm/s = 0.63 m/s
10.17 证明公式ω = ku 证明：ω = 2πν = 2π u = 2π u = ku
=
10.0 ×10 330
−3
= 3.03 ×10−5
J ⋅ m −3
（2）最大能量密度 wmax = 2w = 6.06 ×10−5 J ⋅ m −3
（3）两相邻同相波面之间的距离为： l
=λ
=
u ν
=
330 300
=1.1 m
其间的总能量
w
= w ls
=
w
lπ
(
d 2
)
2
= 3.03×10−5
×1.1π
10.20 频率为 300Hz、波速为 330m/s 的平面简谐声波在直径为 16.0cm 的管道中传播，能
流密度为10.0 ×10 −3 J ⋅ s −1m −2 。求：（1）平均能量密度；（2）最大能量密度；（3）两
相邻同相位波面之间的总能量。
解：（1）由 I = w u 得平均能量密度
w
=
I u
答：由 u = λν 认为频率高的波传播速度大是错误的。波的传播速度是由介质的性质决定
的，与波的频率无关。
10.6 波传播时,介质质点是否“随波逐流”?“长江后浪推前浪”这句话从物理上说,是否
有根据？
答 ：波传播时，介质质点并不“随波逐流”。“长江后浪推前浪”这句话从物理上说是无 根据的，前浪并不因后浪（波）的存在而改变其传播。
y
=
A
cos
2π (
x λ
−ν
t)
，
y
=
A
cos
2π
(
x λ
−
1 T
)
，以及
y
=
A
cos
ω(
x u
−
t)
。
证
明：
kx
−
ω
t
=
k
(
x
−
ω k
t
)
=
k
(
x
−
2πν 2π / λ
t)
=
k
(x
−
ut )
所以波函数可写为： y = A cos k (x −ut)
又
kx
−ω
t
=
2π λ
x
−
2πν
t
=
2π ( x λ
330m/s.求波长，并写出此波的波函数。
解：波长为： λ
=νu
=
330 550
= 0.6
m
由于波是沿 x 轴负方向传播的，故在波的一般式中 x 前取正号，则由本题所给数据可写
出波函数为
2
y
=
A
cos ω(t
+
x u
)
=1.0
×10 −2
cos 1.1 ×10 3 π (t
+
x 330
)
+ ϕ
m
10.13 在平面简谐波传播的波射线上有相距 3.5cm 的 A，B 两点，B 点的相位比 A 点落后
1.1
×15.2 ×10 2 ×3.14
2
= 2.66 ×102 m / s
由波的一般形式便可写出此波的波函数为
y
=
A cosω(t
−
x) u
=1.25 ×10−2
cos1.52 ×103 (t
−
x) 266
+ ϕ
m
其中 ϕ是初相位。
10.12 一平面简谐波沿 x 轴的负方向行进，其振幅为 1.00cm，频率为 550Hz，波速为
λλ
10.18
用横波的波动方程
∂2 y ∂t2
=
G ρ
⋅
∂2 ∂x
y
2
和纵波的波动方程
∂2 y ∂t2
=
Y ρ
⋅
∂2 ∂x
y
2
，证明横波
的波速和纵波的波速分别为 u =
G ρ
和u
=
Y。 ρ
证明：任何横波均要满足横波的波动方程 ，现考虑平面简谐波 y = A cos(ω t −kx)
将其代入横波波动方程便得：
如果这两列波分别在两种介质中传播,它们的波长是否可能相等？为什么？
答 ：它们的波长不可能相等。因为根据波的叠加原理（独立性原理）可知，一列波的状
态不因其它波的存在与否，故两列不同频率的简谐波在同一种介质中频率仍然不同，但在同
一种介质中，波速是相同的，所以它们的波长也不可能相等。
若这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长则可能相等。这是因为，它们的频率和
激发的波以 30.0m/s 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。
解：由波源的振动方程 y = (4.00 ×10−3 ) cos 240πt m 知振动角频率ω = 240π .
而波的频率就等于波源的振动频率，所以波的频率和周期分别为
ν
=
ω 2π
=120Hz
，
T
=
1 ν
=
1 120
= 8.33 ×10−3
−νt )
，则波函数还可写为
y