(3)能量不传播
为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与 右行波能流密度之和为零。所以驻波不传播能量 它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。
•合能流密度为
wu w ( u) 0
x cos t
y 2 A cos 2

4、半波损失
2 y1 A cos( t x)
两相邻波节间的距离： x n 1 x n

2
(2)相位：
y 2 A cos 2 x
名称的由来

cos t
两个波节之间的点其振动相位相同, 同时 达到最大或同时达到最小,速度方向相同。
在波节两侧点的振动相位相反,同时达到反 向最大或同时达到反向最小,速度方向相反 相位为反相
没有相位的逐点传播，只有段与段之间的 相位突变，在每一段内各点振动的相位是 相同的，驻定不变的，所以称为驻波
三 驻波
非常重要
设有两列相干波（平面简谐波）分别沿X轴正负方向传播 ，且振幅相同。选初相位均为零,表达式为 2 2 y2 A cos( t x) y1 A cos( t x)
其合成波称为驻波,其表达式：
2 2 y y1 y2 A cos( t x) A cos( t x) 2 2 A cos x cos t
固有性质和边界条件
简正模式的概念
nu n 1,2,3..... 2L
即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续，这些 频率称为弦振动的本征频率 对应的振动方式称为简正模式
波的共振现象
如果策动源的频率与系统的某一 简正模式的频率相同或接近，系统 就会发生很大的驻波，称为共振
nu n 1,2,3..... 2L
y
o
y1
D

y2 P x

y1 Acos(t 1 )
入射波的波动方程为 入射波在P点的振 动方程为：
y1 Acos(t
2x

1 )
7 y1 p Acos (t 1 ) 4
入射波在P点的振 动方程为： 反射波在P点的振 动方程为：
7 y1 p Acos (t 1 ) 4 3 y2 p Acos(t 1 ) 4
2x
1 4 2
驻波方程:
y o
y1 D

y2
P x

y y1 y2 2 Acos(
2x



4
)cos( t

2
)
y y1 y2 2 Acos(
2x



4
)cos( t

2
)
D点处入射波和反射波的合振动方程:
代入 : xD 2
(已知: OP=7 /8，DP=3 /8)
y A A cos( t A 2x

)
y B A cos[ t B
2 ( x 30)

]
B A
2 ( x 30)


2x

(2k 1)
30 / 4 x / 2 k
x 15 2k
k 0,1,2,...
我们以两端固定的弦为例来讨论 两端固定的弦线上的驻波 两端必为波节
简正模式 两端固定的弦线上的驻波 在长为 L 的弦上形成驻波的波 长必须满足下列条件： 两端必为波节
n Ln , 2
2L n , n
n 1,2,3,...
n 1,2,3,...
nu n 1,2,3..... 2L
解 (1)设波y2的方程为
t x y2 0.05cos[2 ( ) o ] 0.05 4
例1
因y2在x=0处与已知横波位相相同，所以o=0,
t x y2 0.05cos[2 ( )] 0.05 4
(2)写出绳上的驻波方程:
t y1 0.05cos[2 ( 0.05 t y2 0.05cos[2 ( 0.05 x )] 4 x )] 4
x
2 (2k 1)


2
x k 1 (m)
例题3.位于 A, B 两点的两个相干波源，振幅相等，频率都 是100赫兹，相差为 ，AB 相距30米，波速为400米/秒
求: A,B连线之间因相干涉而静止的各 点的位置 解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B 联线为X轴，

2 ( x 30) 2x B / 2 A / 2 （2k 1) 8 8 2
x 15 2k
k 0,1,2,...
可见在A、B 两点是波腹处
x 1,3,5,7,9,...... 25,27,29m
因为两波同频率，同振幅，同方向振动， 所以相干为静止的点满足：
y y1 y2 0.10cos
(3)波幅和波节位置 波腹: 波节:
cos

2
xcos40t

2
x 1,

2
x k ,
x 2k (m)
x (2k 1)(m)
x ( 2k 1 ) , cos x 0 , 2 2 2

(k 0,1,2,......)
这部分内容的重点 已知入射波的波动方程，写出反射波的波动方程 （或者反过来已知反射波的写入射波的） 进而写出驻波方程，波节和波腹的位置
写波动方程的基本要领 掌握半波损问题
一列横波在绳上传播，其表达式为 t x y1 0.05cos[2 ( )](SI) 0.05 4 (1)现有另一列横波y2与上述已知横波在绳上形成 驻波,这一列横波y2在x=0处与已知横波位相相同,写出 该波y2的方程。(2)写出绳上的驻波方程；(3)波腹和 波节位置。
11 y A cos 2 (10t ) A cos(20t ) 2
2）入射波在反射点的方程
2m
y A cos(20t )
由于反射处固定，反射波有相位突变。故 反射波在反射点的振动方程为
y反 A cos20t A cos(20t )
y反 A cos(20t x )
所以反射波的波动方程为：
y反 A cos(20t x )
入射波：y入 A cos(20t x)
3）驻波方程
y驻 y入 y反

2 ) cos( 20t
2 A cos( x

2
)
波节的位置满足： cos( x ) 0 2
2 其中： ( 20 10 ) ( r2 r1 )
干涉现象的 数学表述
例2 : S1和S 2是波长均为的两相干波源 ,相 距 3 .S1的相位比S 2 超前 ，若两波单 4 2 独传播时, 在过S1和S 2的连线上各点的强
度相同且两波的强度都 是I 0则在S1S 2连线 ( 20 10 ) 2 ( r2 r1 ) 上, S1外侧和S 2外侧各点合成波的强度 分 别是多少？
干涉的定量分析
S2
y10 A10 cos(t 10 )
y1 ( p, t ) A1 cos( t 10 2
r2
S1
p

r1 )
r1
y20 A20 cos(t 20 )
y2 ( p, t ) A2 cos( t 20 2

r2 )
2 2 A2 A A 1 2 2A 1A 2 cos
y2 A cos （t）
y2 A cos （ t

y1 A cos(t 2)
x）

S1
S2
o
2

x
2

2
y2 A cos （ t


2
x）
3 y1 A cos[ t ( x )] 2 4
3 y1 A cos[ t ( x )] 2 4
u
O
x
30 m
X

4m s
1
ABBiblioteka A点振动方程y A A cos(t A )
在X轴上A点发出的行波方程：
y A A cos( t A
B点振动方程
2x

)
yB A cos(t B )
在X轴上B点发出的行波方程：
y B A cos[ t B
k 0,1,2,...
O
x 1,3,5,7,9,...... 25,27,29m
x
30 x 30 m
B
X
A
例4 振幅为A、频率为、波长为的 一简谐波沿弦线向 右传播，在固定端P点反射，假设反射后波不衰减。已 知：OP=7 /8，DP=3 /8，在t=0时，x=0处媒质质元的 合振动经平衡位置向负方向运动，求D点处入射波和反 射波的合振动方程。 解： 设：入射波在O点的振动方程
3 y D 2 Acos( )cos(2 t ) 4 2
y
2Acos(2t

2
y1 D

y2 P x

)
o
简正模式
实际的振动不一定 是简谐振动，在运 动方程已知时，利 用傅里叶变换可以 分解为许多若干频 率的简谐振动的叠 加。
任何一个波动都 可以看做是若干 不同频率的简谐 波合成的
例2 一沿弹性绳的简谐波的波动方程为y=Acos2(10t x/2)波在x=11m处的固定端反射，设传播中无能量损失， 反射是完全的，试求：1）该简谐波的波长和波速。2）反 射波的波动方程；3）驻波方程，并确定波节的位置。
10Hz