波动学基础前言：许多振动系统都不是孤立存在的，它们的周围常有其它物质。

当某个系统振动时，它将带动周围同它有一定联系的物体随之一起振动，于是该物体的振动就被周围的物质传播开来，形成波动过程。

即：波动是振动的传播过程。

波可分为两大类：机械波、电磁波。

这两类波虽本质不同，但都有波动的共同特征：具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播，且都能产生反射、折射、干涉等现象一、机械波的产生与传播1、产生机械波的条件（1）、波源——是一个在一定条件下的振动系统，是波动能量的供给者。

（2）、弹性媒质——是一种用弹性力相互联系着的质点系，它是形成机械波、传播机械波所不可缺少的客观物质。

2、波动的形成过程首先有一振动系统——波源，在它周围有彼此以弹性力相联系的弹性媒质。

波动形成时有三个要点：A、波动的传播是由近及远的（相对于波源而言），即有先后次序。

B、传播的是振动状态或周相，质点本身不向前运动。

C、波动在传播时，具有空间周期性和时间周期性3、机械波与机械振动的关系波动是振动的传播过程，而振动是产生波动的根源，这是两者的联系。

振动研究的是振动质点离开平衡位置的位移是如何随时间作周期性变化的，即y =f (t)；波动研究的是弹性媒质中不同位置彼此以弹性力相联系的质点群，它们的位移（相对自己的平衡位置）随时间作周期性变化的情况，即y =f (,t)。

对平面谐波而言，讨论的是波线上各质点的运动情况，故有y =f (x,t),这是两者的区别。

4、机械波的类型与波速波动按其振动方式的不同，可分为两大类：横波——波的传播方向与质点振动方向垂直。

其图象的外形特征是有突起的波峰和凹下的波谷。

各质点的振动情况形成一个具有波峰和波谷的正弦或余弦波形。

纵波——波的传播方向与质点振动方向相同。

其外形特征是具有稀疏和稠密的区域，即各质点的振动形成一个具有密集和稀疏相间的完整波。

若将纵波中各质点的位移逆时针转过90度，讨论情况就与纵波一致了。

横波主要在固体中传播，因为固体能承受切向力；纵波可在固、液、气体中传播，固、液、气体均能承受压力、拉力。

（1） 固体中的波速ρGu h = ，G 为切变弹性模量ρY u z = ,Y 为扬氏弹性模量（2） 液体中的波速ρBu z = ，B 为容变弹性模量（3） 气体中的波速 μγRTu q = ，μ为气体摩尔质量由此而知，波速只与媒质的性质有关。

5、波的几何描述由于波动是振动的传播过程，这个“过程”的实现是需要时间和占据空间的。

因此我们可以在某一时刻，在空间的某一位置处来考察波动。

即从几何的角度来描述波。

认定波源在某一时刻t 的振动位相（即波源在该时刻的状态），考察这一振动位相在媒质中是如何向各个方向传播的。

在t+t ∆时刻，这一振动位相正传达到波源周围的一些点上，由这些点所连成的面称波阵面。

即同一波阵面上各点的周相是相同的。

波阵面是在某一时刻振动所传播到各点的轨迹。

波阵面的形状视波源具体情况来定，如：太阳发出的光波，就整个太阳系来看，太阳可看作是点波源，太阳光传播时的波阵面是一系列球面，简称球面波。

但在地球表面上（就整个太阳系来说，这是个很小的区域）来看，波阵面则是一系列平面，简称平面波。

最前面的波阵面也称波前。

沿波的传播方向的直线，称为波线。

波线即是波的传播方向。

在点波源情况下，波线是垂直于球面沿径向向外的一系列直线；对平面波来说，波线是垂直于波阵面的一系列平行直线。

随着t 逐渐增加，于每一时刻相应的波阵面也在媒质中向前推进，这就是以波阵面的推进来阐述波的传播面貌。

二、 定量描述波动的几个物理量及其关系1、 波长λ——波动具有空间周期性和时间周期性，波长λ是描述空间周期性的物理量，可从不同角度来定义。

如：波长是一个完整波的长度，即同一波线上两相邻的周相差为π2的质点之间的距离。

速度t y ∂∂，u 与媒质的性质有关；t y∂∂由波源的性质而定。

3、 周期T ——周期是反映波动时间周期性的物理量，它是波传过一个波长的时间，一般情况下，就是质点完成一次全振动的时间。

νλλ==T u在讨论弹性波传播时，曾假设媒质是连续的。

因为当λ远大于媒质分子之间的距离时，媒质中一波长的距离内，有无数个分子在陆续振动，宏观上看来，媒质就象是连续的。

若λ小到等于或小于分子间距离的数量级时，相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它分子，我们就不能认为媒质是连续的了。

这时媒质再也不能传播弹性波了。

ν极高时，λ极小，因此，弹性波在给定媒质中的传播存在着一个频率上限。

如在真空中分子间距大，就不能传播声波。

三、 平面谐波的波动方程在波动过程中，媒质中各质点的位移都在随时间作周期性变化。

一般的说，媒质中各个质点的振动情况是很复杂的，由此产生的波动也是很复杂的。

当波源作简谐振动时，媒质中各质点也作简谐振动，其频率与波源的频率相同，振幅也与波源有关，这时的波动称简谐波或余弦波。

平面谐波就是波阵面是平面的简谐波。

为了用数学函数式来描述媒质中各质点的位移是怎样随各质点的平衡位置和时间变化的，需寻找一个数学表示式来描述一个前进中的波——行波。

这样的数学函数式，称为行波的波动方程。

设有一平面余弦行波，在无吸收的、均匀无限大的媒质中沿x 轴正向传播，波速为u ，取任一波线作为x的原点。

为了清楚地描述波线上各点的振动，我们用x 表示各个质点在波线上的平衡位置，用y 表示它们的振动位移。

值得注意的是，每个质点的振动位移y 是对它自己的平衡位置而言。

假定在o 处（x=0），媒质质点的振动方程cos(0A y =)φω+t ，0y 是O 点处质点在时刻t 离开平衡位置的位移。

B 为波线上任一点，因为振动是从O 点传播到B 点的，所以B 点处的质点振动将落后于O 点处的质点，落后的时间为u x t B =，这也是振动状态从O 点传到B 点所需要的时间，即：B 点处质点在t 时刻的位移等于O 点处质点在)(u x t B -时刻的位移。

故B 点处质点的振动方程为)(c o s [u x t A y B -=ω+]φ。

由B 点的任意性知，])(cos[φω+-=u x t A y （1） 也为在波线上任一点处的质点在任一瞬时的位移。

若把y,t,x 均看作变量，上式就是沿x 轴方向前进的平面谐波的波动方程。

对波动方程的讨论：（1） 由λπω==uT T ,2，])(cos[φω+-=u x t A y 也可写成])(2cos[φλπ+-=x T t A y 或])(2cos[φλπ+-=ut x A y（2） 若波沿x 反向传播，则波动方程应写为])(cos[φω++=t x t A y（3） 将波动方程两边对t 求导，得x 处质点在任意时刻t 的振动速度，所以，知道振动方程就可以确定波线上任一x 处的质点在t 时刻的振动状态。

（4） 波动方程的物理意义波动方程中有两个自变量（x,t ），当x=constant ，即考虑波线上某一给定点处的质点，波动方程变为y=y(t),此时波动方程表示距原点为x 处的质点在不同时刻的位移，即表示这个质点作谐振动的情形。

左图体现了波动的时间周期性当t=constant,即在某给定时刻统观波线上所有质点，此时各质点的位移是不同的。

波动方程变为y=y(x),相当于某一时刻给各质点拍照，波动方程表示在给定时刻波线上各个x 处质点的位移。

右图体现了波动的空间周期性若x,t 都在变化，波动方程就表示波线上各个不同的质点在不同时刻的位移或波动方程中包括了不同时刻的波形，亦即反映了波形的传播。

（5） 写波动方程的步骤：《1》 选择任一波线为讨论的x 轴，在x 轴上任找一点为坐标原点。

《2》 写出t=0时原点的振动方程。

《3》 根据的方向，写出波动方程。

（与x 同向，为u x t -;与x 反向，为u x t +）《4》 如要求波线上任一点的振动方程，只需将该点的x 值代入波动方程即可。

（6） 对（1）式这样的波动方程，一般假定波源在歪曲远处，如波源在x=-10米处，（1）式只适用于10-≥x 米的区域；如波源在x=0处，（1）式只适用于0≥x 的区域。

例题1：一平面谐波在介质中以速度u =20m/s 自左向右传播，已知传播路径上的某点A 的振动方程为 )4cos(3ππ-=t y （SI ）,另一点D 在A 点右方9米处,求：（1） 若取x 轴方向向左，并以A 为坐标原点,试写出波动方程，并求D 点的振动方程。

（2） 若取x 轴方向向右，以A 点左方5米处的O 点为x 轴原点，再写出波动方程，并求D 点的振动方程。

解（！）：以A 为坐标原点的波动方程为])(4cos[3ππ-+=u x t y ，将x=-9代入波动方程。

即得D点的振动方程])209(4cos[3ππ--=t y D =3cos(5144ππ-t ). (2)以A 点为坐标原点的波动方程为])(4cos[3ππ-+=u x t y ，将x=5代入波动方程得o 点的振动方程：t t y πππ4cos 3])205(4cos[30=-+=以o 点为坐标原点的波动方程为：)20(4cos 3x t y -=π 四、 波动能量当弹性波传播到媒质中的某处时，该处原来不动的质点开始振动，因而具有动能，（能量的供给者是波源）同时该处的媒质也将产生形变，因而也具有势能。

可证明：如在媒质中取一质量元m ∆，当波动传到它时，它所具有的动能和势能为：)(sin 21222u x t mA E E p k -∆==ωω （2）媒质体积元总机械能为：)(sin 222u x t mA E E E p k -∆=+=ωω (3) 讨论：1、（2）式表明行波传播过程中，体积元的k E 与p E 是同相的，而且是相等的。

k E 与p E 同时达到最大值和最小值。

这一点与质点振动情况完全不一样，在振动系统中，k E 与p E 互相转换，系统的机械能守恒。

2、（3）式表明，当x=constant时，体积元的总机械能上随t作周期性变化的，在0（πk2）和最大值（π212+k）之间周期地变化着。

对某一给定时刻(t=constant)，各体积元的总能量又是随x作周期性变化的。

这一点体现了波动具有时间周期性和空间周期性。

3、由上述情况知，波动传播时，媒质由近及远地一层接着一层地振动，能量是逐层传播出去的。

这是波动的一个重要特征。

媒质中任一质元都在不断地接受和放出能量，即先吞后吐。

这就是波动传播能量的机构。

这也是波动与振动的区别：波动传播能量，质元机械能不守恒，振动系统不传播能量，机械能守恒。

4、媒质中单位体积的波动能量称为波的能量密度)(sin21222uxtA-=ωωρω，波的能量是随t而变化的，通常取其在一个周期内的平均值2221ωρωA=，因为正弦的平方在一个周期内的平均值为1/2。