人大附中2017年高三考前热身练习数学(理)试题考生注意：本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题纸交回，本试卷自行保留．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合U ＝{1,2,3,4,5}，M ={1,2}，N ={2,3}，则集合(C U M )∪N 等于（ ）A ．{3}B ．{4,5}C ．{1,2,3}D ．{2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，则22ii+-=（ ） A ．1 B ．3 CD3．已知向量a =(2,0)，b =(0,3)，若实数λ满足 (λb －a )⊥(a ＋b )，则λ（ ）A ．1B ．－1C ．49D ．944．执行如图所示的程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则036a a a ++等于（ ） A. 18 B.－18 C. 20D.－206．已知正数a ，b 满足a b ab +=，则4a ＋b 的取值范围是（ ） A.(0,1] B.[1,9]C.[9,)+∞D.(0,1]∪[9,)+∞7．已知非负实数,x y 满足1≤x ＋y ≤2．．．是（ ） A. 1B. 3C. 5D. 7=8. 对操场上编号为1～100、全部面向主席台的学生依次进行以下操练：凡编号是1的倍数的学生向后转一次；凡编号是2的倍数的学生再向后转一次；凡编号是3的倍数的学生再向后转一次；…；凡编号是100的倍数的学生再向后转一次．经过这100轮操练后，最后面向主席台的学生人数为（ ） A ．9B ．91C ．10D ．90第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．填空应写出最简结果．9. 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的半径为_________．10. 已知数列121321,,,,,n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅是首项为1，公差为1的等差数列，则32a a -=__________；数列{}n a 的通项公式n a =__________.11. 已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称．则函数f （x ）的解析式为_______________．12. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________.13. 已知双曲线22221x y a b-=两渐近线相交所成锐角的正弦值为45，焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的焦距为 ___________．14. 设函数()2010.x a x f x ax x x ⎧-<⎪=⎨+->⎪⎩‚‚‚ ①若1a =-，则()f x 的零点为；②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是 ．侧视图俯视图正视图三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）已知函数2()4cos sin()3f x x x x π=+-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若()f A =a =，2b =，求c ．16．（本题满分13分）某同学在做研究性学习课题时，欲调查全校高中生拥有微信群的数量．已知高一、高二、高三的学生数分别为400，300，300．用分层抽样方法，随机从全校高中生中抽取100名学生进行调查．调查结果如下表：（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）若从这100名学生中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群数量超过10的概率；（Ⅲ）以样本数据估计总体数据，以频率估计概率，若从全校高中学生中随机抽取3人，用X 表示抽到的微信群数量在“11-15”之间的人数，求X 的分布列和方差DX ．17．（本题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，60DAB ∠=，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==．（Ⅰ）求证:BD ⊥平面AED ；（Ⅱ）求二面角D BF C --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB （含端点）上，是否存在一点P ，使得FP ∥平面AED ．若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由．18.（本题满分13分）已知函数ln()f xa x ，()()g x k x k R ，y x =为曲线y f x 的切线．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若存在00x >，使得()00,x x ∈时，y f x 图象在y g x 图象的下方，求k 的取值范围．19.（本题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，且经过点(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l:(0)y kx m k =+≠与椭圆C 相交于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点，连接,MA MB 并延长交直线4x =于,P Q 两点，设,P Q y y 分别为点,P Q 的纵坐标，且121111P Qy y y y +=+，证明：直线l 经过定点． 20．（本题满分13分）给定一个n 项的实数列a 1，a 2，…，a n (n ∈N *)，任意选取一个实数c ，变换T (c )将数列a 1，a 2，…，a n 变换为数列|a 1－c |，|a 2－c |，…，|a n －c |，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第k （k ∈N *）次变换记为T k (c k )，其中c k 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称T 1(c 1)，T 2(c 2)，…，T k (c k )为“k 次归零变换”．（Ⅰ）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中k ≤4； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（Ⅲ）对于数列1，22，33，…，n n ，是否存在“n －1次归零变换”？请说明理由．（考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．）人大附中2017年高三考前热身练习数学(理)参考答案及评分标准一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. D 2. A 3. C 4. A 5. B 6. C 7. A 8. D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．填空应写出最简结果．9. 2 10. 3；1(1)2n n + 11. f (x )=2sin(2x +6π)12.10313.14.12+；(0,3- 注：第10，14题第一空3分，第二空2分；第13题答对一个给3分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分）（Ⅰ）21()4cos (sin )22f x x x x x =+-+222sin cos x x x x =+-2sin 2x x =-+sin 22x x =2sin(2)3x π=- ························································ 4分因为sin y x =的单调递增区间为[2,2]22k k ππππ-+，k ∈Z ， 令222232k x k πππππ-≤-≤+， 得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以，()f x 的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ． ········ 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f A 2sin(2)3A π=-，所以2233A k πππ-=+或223k ππ+，k ∈Z ．因为A 是△ABC 的内角， 所以3A π=或2π． ······························································· 9分 ①当3A π=时，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即27422cos 3c c π=+-⋅⋅⋅，整理，得2230c c --=，解得：c =3(－1舍)． ··························································· 12分 ②当2A π=时，由勾股定理，得c == ··············································· 13分16．（本题满分13分） （Ⅰ）由题意知：4002010010040400300300a +++=⨯=⇒++10a =；3000101510030400300300b +++=⨯=⇒++5b =；30001510100305400300300c c +++=⨯=⇒=++. ············ 3分 （Ⅱ）记事件A = “这2人中恰有1人微信群数量超过10个”. ··············· 4分 由调查表知：这100名学生中，微信群数量超过10个的有101515051055+++++=（人），不超过10个的有1005545-=（人）． ································· 5分 所以这2人中恰有1人微信群数量超过10的概率为：11455521001()2C C P A C ==． ··················································· 7分（Ⅲ）由题意知，微信群个数在“11-15”的概率10151521005p ++==.X 的所有可能取值0，1，2，3． ···································· 8分 则：()0033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=，()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．所以X方差231835525DX npq ==⨯⨯=． ··········································· 13分17．（本题满分14分）(Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,120ADC DCB ∴∠=∠=︒, 30DBC CDB ∴∠=∠=︒ 90ADB ∴∠=︒∴DB AD ⊥. ······································································· 2分又AE ⊥BD,且A AE AD = , 故BD ⊥平面AED. ································································· 4分 (Ⅱ)连接AC,同理(Ⅰ)方法可知CB AC ⊥,且30DCA ∠=︒.FC ⊥平面ABCD,,CA CB CF ∴两两垂直． ······················································· 5分 以C 为原点，建立空间直角坐标系C -xyz 如图．设2CB =,则CA =(0,0,2),(0,2,0),1,0)F B D -,向量(1,0,0)n =为平面BFC 的一个法向量. 设平面BDF 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ,即300y y z -=-=⎪⎩, 取1=y ,则1,3==z x ,则)1,1,3(=m . ································· 7分3cos ,55m n m n m n⋅<>===,而二面角D-BF-C 的平面角为锐角,故二面角D-BF-C ·········································· 9分 （III ）法一：向量法由（I）(II)知(DB =-是平面AED 的法向量，且A(),F(0，0，2)． 假设存在满足条件的点P(,,)a b c ，且设,(0,1]APABλλ=∈．则AP AB λ=，即(,)((,2,0)ab c λλ-=-=-，得,2,0)P λ，因而(2,2,2)FP λ=--若FP ∥平面AED则FP 与平面AED的法向量(DB =-垂直，且直线FP ⊄平面AED 内．故,2,2)(3,3,0)0λ--=， 得12λ=，即F 为AB 的中点， ················································ 14分 此时FP ⊄不在平面AED 内，故满足题意．法二：几何法由（I ）知面EAD ⊥面ABCD.过E 作EG ⊥AD 于G ，则EG ⊥面ABCD. 又FC ⊥面ABCD ，∴EG ∥FC ∵EG ⊂平面AED,FC ⊄平面AED ∴FC ∥平面AED.作AB 中点P ，连接CP. 由（II ）知AB=2DC ∴DC ∥AP ，DC=AP ，∴AD ∥PC又AD ⊂平面AED,PC ⊄平面AED ∴PC ∥平面AED.又FCPC C =，∴平面AED ∥面FCP. 又FC ⊂平面FCP ，所以存在满足条件的点P ，且点P 是AB 中点，此时AP AB =12． ······ 14分 18.（本题满分13分） （Ⅰ）()()1f x x a a x'=>-+，设切点为()11,x y ，则 1111111ln()a x y a x y x⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：1a =．··········································· 5分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知1a =，令()()()ln(1)(0,)h x f x g x x x =-=+-∈+∞依题意，存在00x >，使得()00,x x ∈时()0h x <， ···················· 7分 ①0k ≤时，(0,)x∈+∞，()ln(1)0h x x =+->，此时不存在00x >， 使得()00,x x ∈时()0h x <； ················································· 8分②01k <<时，因为()h x'=22111k k k ⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎭=， 所以存在120,0x x >>使()()120h x h x ''==，不妨设21x x >()10,x x ∈，()()0,h x h x '<递减，所以()()00h x h <=，此时存在00x >，使得()00,x x ∈时()0h x <； ················································· 11分③1k ≥时，因为(0,)x ∈+∞，()221110k k k h x ⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎭'=≤， ()y h x =递减，所以()()00h x h <=． ···································· 12分 综上所述，k 的取值范围是(0,)+∞． ········································ 13分19.（本题满分14分）（Ⅰ）由已知可得：2,2c a a ==，所以c =，故b = ········· 3分 因此，椭圆C 的标准方程为：22142x y +=． ······························ 4分 （Ⅱ）直线l:,(0)y kx m k =+≠与椭圆C 联立得：2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，消去y ，得：222(12)4240k x kmx m +++-=， ························ 6分 由0∆>，得2242m k <+2121222424,1212km m x x x x k k --+==++． ········································· 9分 直线AM ：11(2)2y y x x =++，所以1162P y y x =+. 直线BM ：22(2)2y y x x =++，所以2262Q y y x =+． ····················· 11分 因为121111P Qy y y y +=+， 所以121212112266x x y y y y +++=+，整理得到：1221(4)(4)0x y x y -+-= 1221(4)()(4)()0x kx m x kx m -++-+=，即：12122(4)()80kx x m k x x m +-+-=， ····································· 12分把2121222424,1212km m x x x x k k --+==++，代入上式，得到 2222442(4)801212m kmk m k m k k --⋅+-⋅-=++，化简得：0k m +=，能满足0∆>， ········································ 13分 故直线l 方程为：(1)y k x =-，过定点（1，0）． ······················· 14分 20.（本题满分13分）（Ⅰ）方法1：1(4)T ：3,1,1,3；2(2)T ：1,1,1,1；3(1)T ：0,0,0,0．方法2：1(2)T ：1,1,3,5；2(2)T ：1,1,1,3；3(2)T ：1,1,1,1；4(1)T ：0,0,0,0．·························································································· 4分 （Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()()12,,,k k k n a a a ，1,2,k =．取1121)2c a a =(+,则(1)(1)12121||2a a a a ==-，即经11()T c 后，前两项相等； 取(1)(1)2231()2c a a =+,则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-,即经22()T c 后,前3项相等；… …设进行变换()k k T c 时，其中(1)(1)11()2k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为 ()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++，则()()()()1231k k k k k a a a a +====；那么，进行第1k +次变换时，取()()1121()2k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++，显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++=====；… …经过1n -次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------=====； 最后，取(1)n n nc a -=，经过变换()n n T c 后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “n 次归零变换”． ························ 9分（Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”. ··············································· 10分 证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，()()11(1)12min{,,,}j j j j nc a a a ---<，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由()()1111|||||()|j j i j j i j j a c c a c c --++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，j c >()()11(1)12max{,,,}j j j na a a ---；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i c 满足()()11(1)12min{,,,}i i i n a a a ---i c ≤≤()()11(1)12max{,,,}i i i n a a a ---．不妨设()()11(1)12i i i na a a ---≤≤≤，根据()()1i i k ki a a c -=-，则()()()12max{,,,}iii n a a a =()(){}111max ,i i i n i c a a c ----，由于()()()()11111c ;i i i i i i n n i nc a a a c a -----≤≤-≤，所以()()()12max{,,,}ii in a a a ()()11(1)12max{,,,}i i i n a a a ---≤，所以，i c 12max{,,,}n a a a ≤．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”．（1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：1253(),()22T T ） （2）假设n k =时成立，即231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”． 当1n k =+时，假设2311,2,3,,,(1)k k k k ++存在“k 次归零变换”．此时，对231,2,3,,k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换i c 一定满足ki c k ≤，1,2,,i k =．所以111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++1(1)0k k k k k +≥+-⋅>所以，1(1)k k ++绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ···················································· 13分。