高二年级第二学期期中考试数学试卷一、 选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．在空间四边形ABCD 各边上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 与GH 能相交于点P ，那么 （ ） A ．点P 必在直线AC 上 B ．点P 必在直线BD 上 C ．点P 必在平面ABC 内 D ．点P 必在平面ABC 外 2、已知两条直线a 、b 及平面α有四个命题：①若a ∥b 且a ∥α则b ∥α; ②若a ⊥α且b ⊥α则a ∥b;③若a ⊥α且a ⊥b 则b ∥α; ④若a ∥α且a ⊥b 则b ⊥α; 其中正确的命题是( ) A ① B ② C ③ D ④3. 设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 （ ） A ．0=+++ B ．--=2C ．OM 413121++=D ．0=++4. 二面角α—EF —β是直二面角C ∈EF ，AC ⊂α，BC ⊂β,∠ACF=30°,∠ACB=60°， 则cos ∠BCF 等于 ( ) A ．332 B ．36 C ．22 D ．335. 已知点A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），若存在点D ，使得DB ∥AC ，DC ∥AB ，则D 点的坐标是 （ ）A ．（-1，1，1）B ．)21,21,21(-C ．（-1，1，1）或（1，-1，-1）D ．)1,1,1()21,21,21(---或6. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有: ( ) Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④7. 如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，C B A ,,为其上的三个 点，则在正方体盒子中，ABC ∠等于 …………………… ( ) (A ) 45︒ (B ) 60︒ (C ) 90︒ (D ) 120︒（请在答题卷上答题）8、在30︒的二面角α-l-β中，P ∈α，PQ ⊥β，垂足为Q ，PQ=2a ，则点Q 到平面α的距离为（ ）（A ）3a （B ）32 a （C ）a （D ）332 a 9、右图的正方体中，M 、N 是棱BC 、CD 的中点， 则异面直线AD 1与MN 所成的角为 （ ）度 A. 30 B 45 C 60 D 9010、 下图所示的直观图，其平面图形的面积是（ ）A ．4 B. 42 C. 22 D. 811．已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A ，若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1，则棱AD 的长的取值范围是 ………………………………… （ ）(A )]1,0( (B )]2,0( (C )]2,0( (D ) ]2,1(12、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 （ ） A 38 B 52 C 172D 3+29 二、填空题（本题每小题5分，共20分） 13．已知两异面直线b a 、所成角为3π，直线l 分别与b a 、所成的角都是θ ，则θ 的 取值范围是 ．14．已知正方形ABCD ，BD AC 、相交于点O ．若将正方形ABCD 沿对角线BD 折成60︒的二面角，并给出下列四个结论：①BD AC ⊥；②CO AD ⊥；③AOC ∆为正三角形；④43cos =∠ADC ． 则其中正确命题的序号是： ．（注：把你认为正确命题的序号都填上） 15．在等腰△ABC 中，AC=12，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一点P 到A 、B 、C 的距离都是41，则P 到平面ABC 的距离为 .16． 在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=a ，BD ⊥AC 于D ，以BD 为棱折成直二面角A —BD —C ，P 是AB 上的一点，若二面角P —CD —B 为60°，则AP= .高二第二学期期中考试数学答题卷班级 姓名 得分AC答题卷一、 选择题：(每题5分,共60分)二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16.三. 解答题(本大题共5题,总分70分)17．如图，二面角A l l A A B A l '⊥'∈∈--于交为,,,60βαβα ，B l l B B '⊥'于交。

若3,1,2=''='='B A B B A A（1）求||；（2）求AB 与l 所成的角.(12分)18、已知△ABC ，∠ACB ＝90，SA ⊥面ABC ，AD ⊥SC 求证：AD ⊥面SBC （10分）SDCBA第一页（答题卷共三页）19．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ；（Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值. (16分)20.如右图，在长方体A BCD —A 1B 1C 1D 1中，已 知A B= 4， A D =3，AA 1= 2.E 、F 分别是线段A B 、BC 上的点，且EB= FB=1．（1）求直线EC 1与FD 1所成的余弦值；（2）求二面角C —DE —C 1的正切值．(16分) D 第二页（答题卷共三页）21、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且0(λ==ADAF ACAE ＜λ＜1）（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (16分)高二数学参考答案1.A2.B;3.D;4.D;5.A;6.B;7.B ；8.A ；9.C;10.A;11.C;12.B..14. ①④；15.5；16.213- FEDBAC第三页（答题卷共三页）17..45,45,2263||||||||||||||,cos )2(.6||60)60180cos(12201)3(2222||2222222角成与即上取在 l AB B A AB B A AB B A AB B A AB B A AB B A l AB B B B A B B A A B A A A B A A A AB AB AB B B A A A >''∠∴===''⋅''=''⋅''''''''=''⋅''>=<''=∴=+-⨯⨯⨯++++='⋅'+'⋅+'⋅+'+=⋅=∴'+''+'=18、证明：90ACB ∠=BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥=AD ∴⊥面SBC19．（Ⅰ）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC ≌△ABD ，BC=BD.取CD 的中点M ，连AM 、BM ，则CD ⊥AM ，CD ⊥BM. ∴CD ⊥平面ABM ，于是AB ⊥BD. （Ⅱ）由CD ⊥平面ABM ，则平面ABM ⊥平面BCD ，这样∠ABM 是AB 与平面BCD 所成的角.在△ABC 中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，722=⋅-+=∴AC AB AC AB BC . 在△ACD 中，AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD 是正三角形，AM=3. 在Rt △BCM 中，BC=7，CM=1，6=∴BM ..362cos 222=⋅-+=∠∴BM AB AM BM AB ABM20.解：（1）以A 为原点，，，1AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则有D （0，3，0）、D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2）于是， =（3，－3，0），1EC =（1，3，2）， 1FD =（－4，2，2）设EC 1与FD 1所成角为β，则cos β||||1111FD EC ⨯=22222222)4(2312223)4(1++-⨯++⨯+⨯+-⨯=1421SDCB A高二数学参考答案（一）（２）设向量=（x ，y ，z ）与平面C 1DE 垂直，则有⇒⎭⎬⎫=++=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥0230331z y x y x EC x =y=－21z∴=（－2z ，－2z ，z ）=2z（－1，－1，2）其中z>0 取0n =（－1，－1，2），则0n 是一个与平面C 1DE 垂直的向量， ∵向量1AA =（0，0，2）与平面CDE 垂直，∴0n 与1AA 所成的角θ为二面角C －DE －C 1DE 的平面角. ∵cos θ||||1010AA n ⨯=400411220101++⨯++⨯+⨯-⨯-36∴t a n θ=2221、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 又),10(<<==λλADAF AC AE∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===AB BD,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=ACAE AE λ故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD. （也可用向量 ） 高二数学参考答案（二）。