〔单位时间内系统内能的增量〕 ＝ 〔单位时间内系统获得的热 能〕 ＋ 〔单位时间内系统对外 界作的功〕
z
dQz+dz
dQx dQy+dy
dz
dx dy
dQz y
dQy dQx+dx x
热量传输微分方程
分析： 总能量＝内能＋动能＋位能 只考虑与外界的热能联系，故动能和位能可忽略。 系统对外界做功包括：克服重力、压力和粘性力做功。 克服压力和粘性力做功可转化为热能，由于流体为不可压缩流体，故只 剩下粘性力做功产生的摩擦热。 系统获得的热能包括：通过导热和对流方式从外界得到的热能，和内 热源（化学反应、电热效应等）
a表示物体在被加热（或冷却）时内部温度均匀的快慢。a 值越大， 则在同样的加热（或冷却）条件下，材料中温度达到均匀就越迅 速。故a又有“导温系数”之称。
动量传输和热量传输的类似
Y方向上的导热通量可表示为：
qy
t (ct) y c y
a (ct) y
式中：
a c
Q2 ,x净
Q2,x－Q2, xdx
(t )dxdydz x x
Q2 [ (t ) (t ) (t )]dxdydz x x y y z z
热量传输微分方程
对于Q3：
定义单位时间内单位体积所生成的热量为内热 源强度，用qv(w/m3)表示，则：
Q3 qv dxdydz
热量传输微分方程
简化3：在固体中，vx , v y , vz 0,0 则(1)式变为：
c p
t (t)
qv
… … (4)
称为固体导热微分方程式
简化1：若λ为常数，则(4)式变为：
t a2t＋ qv

c p
… … (5)
简化2：若无内热源，则(5)式变为：
t a2t
－－称为热扩散系数，m2/s；
ct －－表示单位体积物体所具有的热量，J/m3；
(ct) －－表示y方向上物体的热量浓度梯度； y
动量传输和热量传输的类似
Y方向上的动量通量可表示为：
y
v x y
(vx ) y
( vx ) y
式中：

v x
－－称为动量扩散系数，m2/s； －－表示单位体积流体的动量，kg·m/(m3·s)；
c p
Dt (t D
)
q
v

… … (1)
简化1：Ф对于流体高速流动或粘性很大的流体才重要，对于一般工程问 题可忽略，则(1)式变为：
c p
Dt (t) D
qv
… … (2)
简化2：若λ为常数，流体无内热源，则(2)式变为：
Dt a2t D
… … (3)
称为傅立叶－克希荷夫导热微分方程
经分析得：Q1 + Q2 + Q3 +增量
热量传输微分方程
对于Q1：
Q1,x vxudydz
Q1,xdx Q1,x x (Q1,x )dx
Q1, x净
Q1, x－Q1, x dx
(u vx x
vx
u )dxdydz x
t n
w
(t
w
t f
)
例题
例1、一厚度为s的无限大平板，其导热系数λ为常数，平板内具有均匀 的内热源qv(W/m3)。平板x=0的一侧是绝热的，x=s的一侧与温度为tf的流 体直接接触，已知平板和流体间的对流换热系数为α。试写出这一稳态 导热过程的微分方程和边界条件。 分析：
(vx ) －－表示y方向上物体的动量浓度梯度； y
可以看出：傅立叶定律和牛顿粘性定律有共同的特点，即传递通量与 相应量的浓度梯度成正比；比例系数的单位为m2/s；说明动量传输、 热量传输和后面的质量传输有一定的类似关系
热量传输微分方程
对于不可压缩流体（或固体） du cvdt, cv c p
Q3 qvdxdydz
对于Q4：
Q4 dxdydz
对于Q5：
Q5 u dxdydz
代入上式，整理得：
u (vx
u x
v y
u y
vz
u ) z
[
(t ) x x
(t ) y y
(t )] z z
qv

热量传输微分方程
热量传输微分方程
常用的直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的热量传输微分方程：
直角坐标系：t v
x
t x
v
y
t y
vz
t a( 2t z x2
2 t y 2
2t ) z 2
柱坐标系：
t vr
t r
v r
t v
z
t z
a[1 r
t 0 f (x, y, z)
最简单的初始条件是开始时刻物体内各点具有相同的温度，即：
t 0
t0
常数
对于稳态导热，温度分布与时间无关，不存在初始条件。
导热过程的单值性条件
边界条件包括温度边界条件和速度边界条件，对固体导热问题来说，不需 要速度边界条件。温度边界条件是指物体边界上的温度特征和换热情况。 常见的边界条件可分为三类：
热量传输微分方程
热量传输微分方程的推导 各种坐标系下的热量传输微分方程 初始条件和边界条件 例题
热量传输微分方程
工程问题
温度场
计算导热速率
热量传输微分方程 （物体内部各点温度和空间与时间内在联系的数学表达式）
方法：微元体分析法 根据能量守恒定律建立
热量传输微分方程
从流动流体中取出一个微元体， 其体积为dV=dxdydz，假定流体为 不可压缩流体。根据能量守恒定 律，对于这一微元体有：
Q1
vx

u x
v y
u y
v z
u u(vx z x
v y y
vz z
)dxdydz＝ (v x
u x
v
y
u y
v
z
u )dxdydz z
对于Q2：
Q2,x
t dydz x
Q2,xdx Q2,x x (Q2,x )dx
Dt a2t D
… … (3)
称为傅立叶－克希荷夫导热微分方程
热量传输微分方程
a c p
其分子是物体的导热系数，λ越大，在相同的温度梯度下可以传导 更多的热量。
其分母ρCp是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量， ρCp越 小，温度升高1℃所需吸收的热量就越小，可以剩下更多的热量向继 续向物体内部传递，表现在温度上就是使物体内各点的温度能更快 地随界面温度的变化而变化。
(r r
t ) r
1 r2
2t 2
2t z 2
]
式中： 方位角；
vr、v、vz 流体速度在柱坐标系（ r、、z）方向上的分量
球坐标系：t vr
t v t v t a[ 1 r r r sin r2
(r 2 r
t ) r r 2
1 (sin t ) sin r 2
1 2t ] sin 2 2
式中： 方位角或称经角；
纬角；
vr、v、v流体速度在球坐标系（ r、、）方向上的分量
适用范围
导热微分方程的适用范围： 导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程 极短时间产生极大的热流密度的热量传递现象（如激光加工过程）。 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
单值性条件
热量传输微分方程是描述物体内温度随时间和空间变化的一般关系 式，为了使方程有确定的解，则需给出单值性条件：几何条件、物理 条件、初始条件和边界条件。
几何条件：参与过程的物体的几何形状和大小。
物理条件：物性参数λ、C、ρ等随温度的变化规律；指明是否有内 热源。
初始条件是指导热过程开始时刻物体内的温度分布，可表示为：
对于不可压缩流体（或固体） du cvdt, cv c p
c p
Dt (t D
)
q
v

… … (1)
简化1：Ф对于流体高速流动或粘性很大的流体才重要，对于一般工程问 题可忽略，则(1)式变为：
c p
Dt (t) D
qv
… … (2)
简化2：若λ为常数，流体无内热源，则(2)式变为：
… … (6)
简化3：若为稳态，则(6)式变为：
2t 0
… … (7) 称为拉普拉斯方程
热量传输微分方程
导热微分方程：
t a[ 2t 2t 2t ] qv x 2 y 2 z 2 c p
各项的意义： 左边表示温度场随时间的变化，即温度场的不稳定程度。 右边的两次导数为温度梯度在各坐标方向的变化率，亦即表 示热流在各坐标方向的变化。正是由于这些变化使物体内部 的温度随时间发生变化。
对于Q4： 对于Q5：
定义单位体积流体由于粘性力作用产生的摩擦 热速率为耗散热，用Φ(w/m3)表示，则：
Q4 dxdydz
Q5 u dxdydz
热量传输微分方程
对于Q1： 对于Q2： 对于Q3：
Q1 (vx
u x
v y
u y
vz
u )dxdydz z
Q2 [ (t ) (t ) (t )]dxdydz x x y y z z
（1）第一类边界条件是已知任何时刻边界上的温度分布：
t w tw
特殊情况下： t w tw 常数
（2）第二类边界条件是已知任何时刻边界上的热通量：
t n w
qw
特殊情况是某个边界面完全绝热，则： t 0 n w
（3）第三类边界条件也称为对流边界条件，它是已知物体周围介质的温 度tf和边界与周围介质的对流换热系数α（若同时存在对流给热和辐射换 热， α 用总换热系数α ∑代替）：